6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида: y"+py'+qy=f(x), гдеp,q– постоянные коэффициенты, аf(x) – некоторая функция, называют линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы рассмотрим уравнение для случаев когдаf(x)=0. Еслиf(x)=0, то уравнениеy"+py'+qy=0 называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого дифференциального уравнения, как показал Эйлер, следует искать в виде следующих функций: у = е^кх, гдек –некоторый коэффициент. Подставим значения у' = ке^кх и у" =к²е^кх, найденные из этой функции в уравнение. Тогда получим:к²е^кх + кpе^кх+qe^кх = 0 или е^кх(к² +pк +q) = 0; е^кх≠ 0.

Для того чтобы функция у=е^кх была решением дифференциального уравнения, достаточно, чтобык² +pк +q= 0.

Это уравнение называют характеристическим уравнением и корни его определяются по формуле:

к_1,2 = -

Эйлер показал, что для ЛОДУ может быть три вида решений:

1-ый вид:если корник₁ик₂ характеристического уравнения действительные и различные (к₁≠к₂), то все решения ЛОДУ даются формулой:

у = с₁ ∙ + с₂∙.

2-ой вид:если корник₁ ик₂ характеристического уравнения действительные и равныек₁=к₂ =к, то все решения ЛОДУ даются в виде такой формулы: у = (с₁+ с₂) е^кх.

3-й вид:если же корник_1,2= ; (i= ) характеристического уравнения комплексные числа, то все решения ЛОДУ даются такой формулой: у = е^αx(с₁cosβx+c₂sinβx), где с₁и с₂ - произвольные постоянные.

Все приведенные выше три вида решений представляют собой общее решение ЛОДУ. Частные решения находят по заданным начальным условиям:

Пример:у"–6у'+8у = 0;к²-6к+8 = 0;к_1,2 =3;к₁=4;к₂ =2;

у = с₁∙ е^4х+ с₂∙ е^2х.