5. Функции многих переменных. Частные производные и дифференциалы.

Большинство процессов, явлений в окружающем нас мире определяются не одной независимой переменной, а несколькими, функционально связанными между собой. Для изучения подобных зависимостей введено понятие функции нескольких аргументов. Например, S=ав (площадь);V=авс (объем),PV=RT;P=RилиS=f(а,в);V=f(а,в,c);P=f(T,V).

В этих случаях часто возникает необходимость определить скорость указанных процессов и другие физические характеристики.

Для функции двух или нескольких переменных рассматриваются вместо обычных производных – частные производные. Пусть дана некоторая функция двух аргументов z=f(х,у). Если мы дадим приращение только одному аргументу, например х, а второй аргументy зафиксируем, то можно получить частное приращение функции по этому аргументу ∆_хf(х,у) =f(х+∆х,у)-f(х,у). Аналогично разность ∆_уf(х,у)=f(х,у+∆у)-f(х,у) называется частным приращением функцииz=f(х,у) по аргументу у.

Частной производной функции двух независимых переменных z=f(х,у) называется производная, взятая по одному из аргументов, а второй аргумент при этом считается постоянным. Например, частная производная функцииz=f(х,у) по аргументу х называется предел =, если он существует_.Частные производные по аргументам х и у обозначаются следующим образом:z'_х;z'_у;f_х(х,у);f_у(х,у);;;;. Частные производныеI-го порядка функцииz=f(х,у) также являются функциями аргументов х и у. Частные производные этих функций называются частными производными второго порядка искомой функцииz=f(х,у). Для этой функции можно определить четыре частные производные 2-го порядка:

= ;=;=;. Частные производныеиотличаются порядком дифференцирования и называются смешанными частными производными второго порядка.

По аналогии с дифференциалом функции одной независимой переменной частные дифференциалы функции по х и по у будут равны:

d_xz =dx; d_yz = dy.

Полный дифференциал функции двух независимых переменных будет равен сумме частных дифференциалов: dz=d_xz+d_yz= dx+dy.

Полный дифференциал функции двух независимых переменных является главной частью полного приращения и может быть использован для приближенных расчетов полного приращения функции z=f(х,у), т.е. ∆f ≈df;

∆z= ∆f ≈dx+dy.

Абсолютная величина полного приращения функции при расчете погрешности измерения называется её абсолютной ошибкой. Если заменить полное приращение функции дифференциалом, то её абсолютная ошибка рассчитывается по приведенной формуле полного дифференциала.

Объем цилиндра определяется по формуле V=πR²h, т.е.V=f(R,h). Необходимо определить приращение объема, еслиRиhполучают приращения ∆hи ∆R. В этом случае: ∆V=dV= + , гдеdR= ∆R, аdh= ∆h.

Пример:Найти частные производные и полный дифференциал функции:Z= 3х³у²+ х²у²+ у⁴

= (3х³у²+ х²у²+ у⁴)'_х= 9х²у²+2ху²; (у = соnst);

= (3х³у²+ х²у²+ у⁴)'_у= 6х³у +2х²у+4у³; (х = соnst);

dz=d_xz+d_yz= dx+dy= (9х²у²+2ху²)dx+(6х³у+2х²у+4у³)dy.