Линейная алгебра

	ванием. Критерий Сильвестра положи				ределённости квадратичной формы.
	тельной	определенности	квадратичной
	формы. Квадратичные формы в вещест
	венном	пространстве. Закон инерции
	квадратичных форм.		Квадратичные
	формы в евклидовом пространстве.
15		Итого		15			64

11

	КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1.	Матрицы. Для данной матрицы A, приведенной для каждого ва
рианта в прил. 1:
а)	вычислить определитель матрицы A;
б)	вычислить след матрицы A;
в)	найти (если это возможно) матрицу, обратную к матрице A;
г)	найти базис линейной оболочки системы векторов — столбцов
матрицы A;
д)	определить ранг матрицы A;
е)	найти собственные значения матрицы A и соответствующие им
собственные векторы.
2.	Системы линейных алгебраических уравнений. Для данной

системы линейных уравнений, заданной в прил. 2 расширенной матри цей (А | b)

а)	найти общее решение и два различных базисных решения дан
ной системы линейных уравнений;
б)	найти матрицы ААт, АтА, bbт, bтb, прокомментировать их свойст
ва (ортогональность, симметричность, знакоопределенность).
3.	Геометрические свойства решений системы линейных алгеб

раических уравнений. Для данной системы линейных уравнений и дан ного вектора y (расширенная матрица системы уравнений и вектор y для каждого варианта приведены в прил. 3):

а)	проверить, является ли вектор y решением данной системы ли
нейных уравнений;
б)	найти ортогональную проекцию и ортогональную составляю

щую вектора y на подпространство всех решений заданной системы уравнений;

в)	найти угол между вектором y и подпространством ;
г)	найти расстояние от вектора y до подпространства .

4.Гиперплоскость. Для гиперплоскости, заданной уравнением

c1x1 + c2x2 + + c3x3 + c4x4 = 0 (числа c1, c2, c3 и c4 приведены для каждого варианта в прил. 4):

а)	найти ортонормированный базис гиперплоскости;
б)	найти матрицу ортогонального проектирования на эту гиперп

лоскость.

5.Расстояние между прямыми. Найти расстояния между прямы

ми a1 + b1x и a2 + b2x, где векторы a1, a2, b1 и b2 приведены для каждого ва рианта в прил. 5.

6.Линии второго порядка. Привести уравнение линии второго по рядка к каноническому виду, определить тип этой линии и начертить ее (уравнения для каждого варианта приведены в прил. 6).

12

7. Квадратичные формы. Привести квадратичную форму F(x, y, z), приведенную для к4аждого варианта в прил. 7, к каноническо му виду, определить вид поверхности, заданной уравнением F(x, y, z), а также знакоопределенность квадратичной формы.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1.Матрицы, их классификация, сложение матриц и умножение матри цы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы, свойства операций над матрицами.

2.Элементарные преобразования матриц и матрицы элементарных преобразований, теорема о приведении произвольной матрицы к верхней тра пециевидной форме.

3.Определитель и след квадратной матрицы, из свойства.

4.Ортогональная матрица, теорема об определителе ортогональной матрицы.

5.Линейные операции над геометрическими векторами и их свойства.

6.Линейное пространство, подпространство линейного пространства, линейное многообразие, линейная оболочка, сумма и пересечение подпро странств, изоморфизм линейных пространств.

7.Линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл.

8.Базис и размерность линейного пространства, координаты вектора.

9.Ранг матрицы, теорема о базисном миноре, инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований.

10.Аффинная и прямоугольная декартова системы координат.

11.Проекции геометрического вектора на плоскости и в пространстве.

12.Скалярное, векторное и смешанное произведения геометрических векторов.

13.Преобразование аффинной и прямоугольной декартовой системы координат.

14.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

15.Системы линейных уравнений: основные определения, каноническая форма записи системы линейных алгебраических уравнений.

16.Система линейных уравнений с квадратной невырожденной матри цей, правило Крамера.

17.Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений, формулы исключения (вывод), правило прямоугольника.

18.Исследование и решение системы линейных алгебраических урав нений методом последовательного исключения неизвестных Жордана — Га усса.

19.Геометрические свойства решений системы линейных уравнений.

20.Поиск различных предпочитаемых эквивалентов системы линейных алгебраических уравнений и базисных решений, общего решения.

21.Преобразование системы линейных алгебраических уравнений с со хранением неотрицательности правых частей уравнений, поиск различных базисных неотрицательных решений, правила выбора разрешающей неиз вестной и разрешающего уравнения, их обоснование.

13

22.Системы линейных алгебраических неравенств: основные определе ния, сведение к системе линейных алгебраических уравнений.

23.Обратная матрица: определение, свойства, условие существования.

24.Обращение матрицы методом Жордана.

25.Обращенный базис системы линейных алгебраических уравнений. Приведение системы линейных алгебраических уравнений к предпочитаемо му виду с помощью обращенного базиса.

26.Прямая, различные виды уравнений прямой на плоскости и плоско сти в пространстве.

27.Взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в про странстве, полуплоскость и полупространство, линейные неравенства.

28.Прямая на плоскости и плоскость в пространстве в прямоугольной декартовой системе координат.

29.Прямая в пространстве, взаимное расположение прямых в простран

стве.

30.Системы линейных неравенств.

31.Комплексные числа и операции над ними.

32.Сопряженная матрица и ее свойства.

33.Многочлены, деление многочленов, корни многочлена, теорема Безу, основная теорема алгебры.

34.Многочлены с вещественными коэффициентами.

35.Многочлены от матрицы, теорема Гамильтона — Кэли.

36.Эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения и свойства.

37.Общее уравнение линии второго порядка на плоскости, характери стический многочлен, метод вращений.

38.Классификация линий второго порядка на плоскости, каноническое уравнение, метод Лагранжа.

39.Скалярное произведение векторов, неравенство Коши — Буняков

ского.

40.Евклидовы и метрические пространства, длина вектора, расстояние между двумя векторами, расстояние между двумя множествами в евклидовом пространстве.

41.Ортогональные векторы, ортогональный и ортонормированный базис линейного пространства, процесс ортогонализации Грама — Шмидта.

42.Свойства матрицы Грама и определителя Грама.

43.Теорема Пифагора, линейные многообразия в евклидовом простран

стве.

44.Линейное нормированное пространство.

45.Линейный оператор и его матрица, свойства линейного оператора.

46.Произведение линейных операторов, образ и ядро линейного опера тора, обратный оператор.

47.Собственные значения и собственные векторы матрицы.

48.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Оператор простой структуры.

49.Симметричная матрица, ее собственные значения и собственные

векторы.

14

50.Самосопряженный линейный оператор, его собственные значения и собственные векторы.

51.Положительно определенная матрица, ее собственные значения и собственные векторы.

52.Неотрицательно определенная матрица, ее собственные значения и собственные векторы.

53.Идемпотентная матрица, ее собственные значения и собственные

векторы.

54.Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

55.Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной

формы.

56.Квадратичные формы в вещественном пространств, закон инерции квадратичных форм.

57.Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве, об щее уравнение гиперповерхности, приведенные уравнения гиперповерхности.

58.Классификация гиперповерхностей второго порядка в евклидовом пространстве.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Ос н о в н а я

1.Соловьев В. И. Математика в экономической сфере: Учебное посо

бие. – М.: Дрофа, 2008.

2.Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник. – М.: Издательство Московского университета, 2002.

3.Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2003.

4.Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная матема тика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА М, 2002.

5.Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисле ние с приложениями к статистике и эконометрике. – М.: Физматлит, 2002.

До п о л н и т е л ь н а я

6.Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Основы эко

нометрики. Ч. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.: ЮНИ ТИ ДАНА, 2002.

7.Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб ры. – М.: Наука, 1979.

8.Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Физматлит, 2003.

9.Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и анали тической геометрии. – М.: Дрофа, 2003.

10.Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – СПб.: Лань, 2003.

11.Воеводин В. В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

12.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.

15

13.Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.

14.Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1975.

15.Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная гео метрия. – М.: Наука, 1970.

16.Икрамов Х. Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975.

17.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2001.

18.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физмат лит, 2001.

19.Ким Г. Д., Крицков Л. В. Алгебра и аналитическая геометрия: Тео ремы и задачи: В 2 х т. – М.: Зерцало М, 2003.

20.Кострикин А. И. Введение в алгебру: В 3 х ч. – М.: Физматлит, 2001.

21.Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.

22.Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др. Практикум по выс шей математике для экономистов. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003.

23.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Лань, 2003.

24.Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1978.

25.Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: На чальный курс. – М.: Дело, 2003.

26.Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лабора тория базовых знаний, 2003.

27.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г. Мате матика в экономике: В 2 х ч. Ч. 1. – М.: Финансы и статистика, 2003.

28.Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. – СПб.: Лань, 2001.

16

			П р и л о ж е н и е		1 . Матрицы для исследования
Вариант 1.			Вариант 5.				Вариант 9.
	−1 1 −1			2	−1 −1			−2 −1 3
	−1 2 0			−2 3 2
								−1 −2 1
				3
	2 −1 2				−3 −2			−2 −2 3
Вариант 2.			Вариант 6.				Вариант 0.
	−1 2 −1			4	−2 −2			2 1 −1
	−1 2 0			3	−1 −3			−4 −2 2
	1 −1 2			−1 1 3				−2 −1 1
Вариант 3.			Вариант 7.
	0 1 0			3	1 −1
	−2 3 1			−1 1 1
				2
	2 −1 3				1 0
Вариант 4.			Вариант 8.
	−1 1 1			0	0 −1
				−1 −2 2
	−2 2 1
	−2 1 2			−2 −4 3

П р и л о ж е н и е 2 . Системы линейных алгебраических уравнений

Вариант 1.												Вариант 5.												Вариант 9.
	0	−2 −4 −2								6			1	2	−2	−3						4			1	−2 2 3				0
	−3 2 1 −4														−1	−4										−5 1 4
										3			2	5							9				3					1
	−2 1 0 −3												1	3	1 −1										2	−3 −1 1
										3												5								1
Вариант 2.												Вариант 6.												Вариант 0.
	−2 −1 0 −5					−1							1	2	−3 −4							1			1	−3 1 2		4
	−1 3 7 1														−2 −1											−5 4 3
								3					3	7								4			2			7
	1												2	5											1	−2 3 1
		3 5 5						3										1 3				3						3
Вариант 3.												Вариант 7.
	3	1 −1 5						−1					1	3	−1 −2							1
	−3 −2 −1 −4							5					2	7	−4 −3							3
	1	0 −1 2											1	4	−3 −1
								1														2
Вариант 4.												Вариант 8.
	1	3 2 −1		3									1	−2 2		3		0
	−1 3 1 −5													−3 1
				6									2			4		1
	−2 2 0 −6												3	−5 3
				6												7		1

П р и л о ж е н и е	3 . Системы уравнений и векторы
Вариант 1.
0	1	1		−2				0		y = (0; 0; 6; 0)
(A | b) =		−2		−1				,
1	0							0
Вариант 2.
0	1	2	1			0			y = (–2; –4; 2; –2)
(A | b) =		−2					,
1	1		1			0

17

Вариант 3.
0			1	0	2						0						y = (–1; 3; 3; 4)
(A | b) =															,
1			2	2	2						0
Вариант 4.
1	0		−1		0		0									y = (–2; –3; 0; –1)
(A | b) =												,
1	1			1	2		0
Вариант 5.
1	−1		−1		−1						0						y = (–5; –1; 1; –1)
(A | b) =					−1										,
2	2			1							0
Вариант 6.
1		0		2	0							0					y = (–2; 1; –2; 3)
(A | b) =	−2 0				−2										,
1												0
Вариант 7.
2		1		1	−1							0					y = (2; 3; 1; –1)
(A | b) =															,
2		0		1	0							0
Вариант 8.
2		−1		−1	1										0		y = (–4; 1; 1; 1)
(A | b) =					−1										,
2		0		1											0
Вариант 9.
(A | b) =	0		1	1	0										0		y = (0; 4; 1; 2)
				−1 1											,
Вариант 0.	1		2										0
0		1		−1	0						0						y = (–1; 1; 1; –2)
(A | b) =				−1											,
1		1			2						0

					П р и л о ж е н и е								4 . Гиперплоскости
Вариант 1.													Вариант 6.
	c1 = 1, c2 = –2, c3 = 7, c4 = 4													c1 = 1, c2 = 8, c3 = 5, c4 = –2
Вариант 2.													Вариант 7.
	c1 = 1, c2 = 4, c3 = –3, c4 = 5												c1 = –2, c2 = –6, c3 = 1, c4 = 1
Вариант 3.													Вариант 8.
	c1 = 5, c2 = 2, c3 = –1, c4 = 7												c1 = 2, c2 = 2, c3 = –4, c4 = –4
Вариант 4.													Вариант 9.
	c1 = –1, c2 = –1, c3 = 2, c4 = 5													c1 = –5, c2 = 2, c3 = 6, c4 = 3
Вариант 5.													Вариант 0.
	c1 = –1, c2 = 3, c3 = –2, c4 = 4												c1 = 3, c2 = –2, c3 = 3, c4 = –1
							П р и л о ж е н и е 5 . Прямые
Вариант 1.													Вариант 3.
	3		1				1					1		1			−1					2			1
a	= 2	, b	=	1	, a	2	=	0	, b	2	=	2	a =	2	, b =		1	, a		2	=	1	, b	2	=	2
1		1											1		1
	1			−1				−1				1		3			2					0				1
Вариант 2.													Вариант 4.
	4		1				1					1	1			4					2				1
a	= 2	, b	=	−1	, a	2	=	2	, b	2	= 0		a =	3 , b =			2	, a	2	=		0	, b	2	=	−1
1		1											1		1
	1			1				−1				1		1			−2					−1				1

18

Вариант 5.																		Вариант 8.
	1			3							2					−1			3					1						−3							0
a = 2 , b =					1	, a		2	=			2 , b		2		=	2	a	=	1	, b		=		1	, a		2		= −1			, b		2		= 2
1			1															1				1
	3			−3							−1						1			2				−2						0							4
Вариант 6.																		Вариант 9.
	−3				1							1				1			1					1						−2							1
a	= 2		, b	=	−1		, a			2	=	1	, b		2	=	0	a	= −2			, b		=	−1		, a		2	=	0			, b		2	= 0
1			1															1				1
	1				1							0					1			1					−1						−1						4
Вариант 7.																		Вариант 0.
	0			0							1					1			1					1						1							0
a	= 1	, b =			2	, a			2	=		3	, b		2	=	1	a	=	0	, b		=		2	, a		2		= −3			, b		2		= 2
1			1															1				1
	2				−1							−1					1			5				−1						0							1

П р и л о ж е н и е	6 . Линии второго порядка
Вариант 1.	Вариант 6.
x2 – 2xy + y2–10x – 6y+ +25 = 0	5x2 + 4xy+8y2 – 32x–56y + 80 = 0
Вариант 2.	Вариант 7.
xy + x + y = 0	5x2 + 12xy–22x – 12y–19 = 0
Вариант 3.	Вариант 8.
5x2 + 8xy+5y2 –18x–18y + 9 = 0	4x2 – 12xy+9y2 – 2x+3y – 2 = 0
Вариант 4.	Вариант 9.
5x2 + 6xy+5y2 – 16x–16y – 16 = 0	4xy + 3y2+16x + 12y–36 = 0
Вариант 5.	Вариант 0.
x2 + 2xy + y2–8x + 4 = 0	2x2 + 4xy+5y2 – 6x–8y – 1 = 0
П р и л о ж е н и е	7 . Квадратичные формы

Вариант 1.

F(x, y, z) = 4x2 + 6y2+4z2 + 4xz – 8y–4z + 3

Вариант 2.

F(x, y, z) = x2 + 5y2+z2 + 2xy + 6xz +2yz–2x + 6y–10z

Вариант 3.

F(x, y, z) = x2 + y2–3z2 – 2xy – 6xz–6yz + 2x + 2y + 4z

Вариант 4.

F(x, y, z) = x2 – 2y2+z2 + 4xy – 8xz – 4yz–14x – 4y + 14z + 16

Вариант 5.

F(x, y, z) = 2x2 + y2+2z2 – 2xy – 2xz + x–4y – 3z + 2

Вариант 6.

F(x, y, z) = x2 – 2y2+z2 + 4xy – 10xz+4yz + x + y – z

Вариант 7.

F(x, y, z) = 2x2 + y2+2z2 – 2xy – 2xz+4x – 2y

Вариант 8.

F(x, y, z) = x2 + y2–4z2 + 2xy + 4xz+4yz – 6z + 1

Вариант 9.

F(x, y, z) = 4xy+2x + 4y – 6z – 3

Вариант 0.

F(x, y, z) = xy + xz+ yz+ 2x + 2y – 2z

19