3. Понятие интервального оценивания параметров

Точечные оценки неизвестного параметра хороши в качестве первоначальных результатов обработки наблюдений. Их недостаток в том, что заранее (априори) неизвестно с какой точностью они характеризуют оцениваемый параметр. Поскольку точечные оценки параметров распределения являются случайными величинами и могут отличаться от оцениваемых параметров, то возникает необходимость в оценке точности и надёжности найденного. То есть требуется знать, к каким ошибкам может привести замена неизвестного параметра его точечной оценкой, и с какой уверенностью можно ожидать, что допущенные ошибки не выйдут за известные пределы.

С этой целью вводятся «интервальные оценки», накрывающий неизвестный параметр, то есть по данным выборки указывается интервал, который с заданной и достаточно близкой к единице вероятностьюобеспечивает верхнюю и нижнюю границу оценок. Обычно, величинуназывают доверительной вероятностью или надёжностью оценки и определяют формулой:

(43) .

Число характеризует точность оценки: чем меньше разность, тем точнее оценка.

Для выборок небольшого объёма вопрос о точности оценок очень важен.

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами – началом и концом интервала. Задачу в общем случае можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностьюможно сказать, что внутри этого интервала находится точное значение оцениваемого параметра.

Величина выбирается заранее, её выбор зависит от конкретно решаемой задачи. Например, степень доверия авиапассажира к надёжности самолёта, естественно, должно быть выше степени доверия покупателя к надёжности бытовых приборов: телевизора, лампочки, …

Надёжность принято выбирать равной: 0,9; 0,95; 0,99 или 0,999. Тогда практически достоверно нахождение параметрав доверительном интервале.

4. Доверительные интервалы для параметров

нормального распределения

В этом разделе построим доверительные интервалы для параметров нормального распределения, т.е. когда выборка производится из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение с параметрами и

4.1. Доверительный интервал для математического ожидания

при известной дисперсии

Пусть с.в.иизвестна, и задана доверительная вероятность (надёжность). Предположим, чтоозначают выборку, полученную в результате проведения

независимых наблюдений за с.в. . Чтобы подчеркнуть случайный характер выборки

, перепишем их в виде, т.е. подбудем понимать значение с.в.

в м опыте. Случайные величины- независимы, закон распределения любой из них совпадает с законом распределения с.в., (т.е. с). А это значит, что

Выборочное среднее

также будет распределено по нормальному закону. Параметры распределения таковы:

. Действительно,

Отсюда, .

Следовательно, пользуясь формулой (см. теорему 9.9) формула (43)).

,

можно записать для некоторого

,

где следовательно,

(44) ,

поэтому или

(45) .

Замечание. Еслипотребуется оценить математическое ожидание с заранее заданной точностью и надёжностью, то минимальный объём выборки, который обеспечивает эту точность, находят по формуле(непосредственное следствие формулы (44)).

В соответствии с определением доверительного интервала получаем, что доверительный интервал для есть интервал

(46)

гдеопределяется из равенства (45), т.е. из функционального уравнения

(47) .

При заданном по таблице функции Лапласа находим аргумент.

Заметим, что из равенства (44) непосредственно следует: с увеличением объёма выборки числоубывает и, значит, точность оценки увеличивается. Увеличение надёжностивлечёт за собой уменьшение точности оценки.

Пример 14. Произведено 5 независимых наблюдений над с.в.. Результаты

наблюдений таковы: Найти оценку дляа

также построить для него 95% -й доверительный интервал.

Решение. Находим сначала величинут.е.Учитывая, чтоиПо таблице значений функции Лапласа находим, чтоТогда по формуле (44). Следовательно, доверительный интервал длясогласно равенство (45) будет следующее:

.