ЛР ВФКТ

			1,5UВИХ,B						U(t),В
									1,0
			1,0						UВХ		UВИХ
									0,5
			0,5
								UВХ,B	0	0,5	1,0	1,5	t,mc
2,0	-1,5	1,0	-0,5	0	0.5	1,0	1,5	2,0					2
			-0,5
			-1,0						-0,5
			-1,5						-1,0

Рисунок 7.3 – Передаточна	Рисунок 7.4 – Осцилограми вхідної
характеристика нелінійності типу	U ВХ та вихідної U ВИХ напруги
«зона нечутливості 2»	при моделюванні нелінійності
	типу «зона нечутливості 2»

1.4 Описати нелінійність типу «насичення». Побудувати передаточну характеристику (див. рис. 7.5), підключити на вхід гармонійний сигнал, побудувати осцилограми вхідної та вихідної напруги (див. рис. 7.6).

			15	UВИХ, В				U(t), B
								15
			10					10	UВИХ
			5					5	UВХ
-3	-2	-1		0	1	2	UВХ, В	0		0,5	1,0	t, mc
			-5				3					1,5
								-5
			-10					-10
			-15					-15

Рисунок 7.5 – Передаточна	Рисунок 7.6 – Осцилограми вхідної
характеристика нелінійності типу	U ВХ та вихідної U ВИХ напруги
«насичення»	при моделюванні нелінійності
	типу «насичення»
Зміст звіту

–мета роботи;

–індивідуальне завдання до виконання лабораторної роботи;

–лістинг програми розрахунку вектору f програми-функції, який пови-

нен супроводжуватися відповідними коментаріями;

41

– лістинг програми розрахунку передаточної характеристики передаточної характеристика нелінійності типу«зона нечутливості1» та осцилограми вхідної U ВХ та вихідної U ВИХ напруги;

– лістинг програми розрахунку передаточної характеристики передаточної характеристика нелінійності типу«зона нечутливості2» та осцилограми вхідної U ВХ та вихідної U ВИХ напруги;

– лістинг програми розрахунку передаточної характеристики передаточ-

ної характеристика нелінійності типу «насичення» та осцилограми вхідної U ВХ

та вихідної U ВИХ напруги;

– лістинги усіх програм повинні супроводжуватися відповідними коментаріями.

42

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 8 РОЗВ’ЯЗАННЯДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Мета роботи: отримати практичні навики роботи при розв’язанні диференційних рівнянь у комп’ютерному математичному пакеті прикладних програм.

Завдання:

1.1 Знайти рішення диференціального рівняння (див. табл. 8.1) на відрізку

[a,b] з	крокомh та початковим наближеннямy0 за допомогою функції
odesolve. Побудувати графічне зображення рішення.
1.2 Вирішити диференціальне рівняння (див. табл. 8.1) на відрізку [a,b] з
кроком h	та початковим наближеннямy0 за допомогою функційrkfixed ,

Rkadapt . Побудувати графічне зображення рішення

1.3 Збільшити крок інтегрування вдвічі (2 × h) та знов знайти рішення за-

дачі на грубішій сітці вузлів. Побудувати графічне зображення рішення.

Таблиця 8.1 – Індивідуальні завдання до виконання лабораторної роботи «Рішення диференціальних рівнянь»

№																f (x)	a	b	Dх			y0
1		dy		= 2 × x + ex 2 -1										- e y			–1	1	0			0.25
		dx
2		dy	= ex + x × (1 - e- x )- x × y														0	4	0			0.5
		dx
3		d 2 y			+ x2 ×						dy		- x × y = ln(x )				–1	1	е-1			0.25
		dx2
											dx
4		dy		= 3 ×(x -1)-													0	2	1			0.25
															y
		dx
5		dy	=			y		-		4							1	3	2			0.25
										x2
		dx				x
6		d 2 y			-		4			× y2 = 2 × ex							1	5	0.16			0.5
		dx2					x2
7		dy	= 2 × cos(x )+ e2×sin (x ) - e- y														p / 4	p				p /16
																				2
		dx

43

	№																				f (x)								a	b	Dх	y0
	8		dy		= sin 2 (x )- y 2 + cos(x )																								0	p / 2	0	p /16
			dx
	9		dy	= 2 × (x -1)+ e(x -1)2																			- e- y						–1	1	4	0.25
			dx
	10		dy		= 0.5 × (cos2 (x )- y 2 )- sin(x )																								0	p / 2	1	p /16
			dx
	11		dy		= -x × y - 0.5 ×ex (x +1)																								0	2	–0.5	0.25
			dx
	12		d 2 y				+ x2 ×					dy		- x × y = tg(x )															0	2	–2	0.25
			dx2
												dx
	13		dy	=						+1.5 × x2 -																			1	2	0.5	0.125
									y													0.5 × x3
			dx
	14		d 2 y				-	2			× y =						ex												–2	0	4	0.25
			dx2														+ x
									x2						1
	15		dy		= (x +1)×(cos(x )- y)- sin(x )																								p / 2	2 ×p	0	p / 8
			dx
	16		dy	= ln(2 )× (x + 2x )- ln(y )																									0	2	1	0.25
			dx
	17		dy	= e- x × (e- x -1)- y2																									0	2	1	0.25
			dx
	18		dy		= 2 × (x - 2)+ x ×(x - 2)2 - x × y																								2	4	0	0.25
			dx
	19		dy	= 2 × (x -1)- y2 + (x -1)																									0	1	2	0.125
			dx
			dy								æ		2				1						ö
	20				=		0.5 ×				ç y				+						- x ÷								0	4	0.5	0.5
			dx
																			x
											è												ø
	21		dy	= x - ln(y )+ ln(0.5 × x2 +1)																									0	2	1	0.25
			dx
	22		dy	= cos(x -1)- 3 × y2																			+ 3 ×sin 2 (x -1)						1	3	0	0.25
			dx
	23		d 2 y				-	2			× y =					ex													1	3	1	0.25
			dx2													x
									x2
	24		dy	= 0.5 × cos(x -1)-																					× y +				0	p / 2	1	p /16
																								2			sin(x )+ 2
			dx

44

№

f (x)

a

b

Dх

y0

25

dy

=

+ 0.25 × (ex - 2 ×

)

0

1

0.25

0.125

y

e

dx

Зміст звіту

–мета роботи;

–індивідуальне завдання до виконання лабораторної роботи;

–лістинг програми розрахунку диференціального рівняння за допомогою функції odesolve, побудувати графічне зображення рішення;

–лістинг програми розрахунку диференціального рівняння за допомогою функцій rkfixed , Rkadapt , побудувати графічне зображення рішення;

–збільшити крок інтегрування вдвічі (2 × h) та знов знайти рішення задачі на грубішій сітці вузлів, побудувати графічне зображення рішення.

–лістинги усіх програм повинні супроводжуватися відповідними коментаріями.

45

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ ФУНКЦІОНАЛЬНИМИ ЗАЛЕЖНОСТЯМ

Мета роботи: отримати практичні навики при апроксимації експериментальних даних функціональними залежностями за допомогою методунай менших квадратів.

Завдання:

В результаті експерименту було визначено деякі експериментальні данні. Необхідно:

–за допомогою методу найменших квадратів виконати апроксимацію даних багаточленом (статечним поліномом), розрахувати коефіцієнти статечного поліному;

–визначити значення похибки апроксимування,

–побудувати графік залежності сумарної похибки апроксимування від степені апроксимуючого поліному.

У тих випадках, коли значення функції yi визначено неточно (наприклад,

із результатів), доцільно функцію апроксимації знаходити за критерієм, який передбачає мінімізацію: суми квадратів відхилень, суми модулів відхилень або максимального відхилення. На практиці зазвичай застосовується середньоквадратичне наближення функції алгебраїчними багаточленами наступного вигляду:

m

y(x )= a0 + a1 × x + a2 × x2 + am × xm = åak × xk ,

k =0

де ak – коефіцієнти багаточлену (статечний поліном); m – ступінь статечного поліному. Коли функцію задано у вигляді таблиці, бажано, щоб число точок xk

( k = 0,1,2,..., n ) було більше ступеня багаточлену m хоча б у (1,5 – 2) рази.

Коефіцієнти багаточлену знаходяться методом найменших квадратів з умови мінімізації найкращого середньоквадратичного наближення:

	n	[y	-y(x		2	n	éy		- m	a
e 2 =					)] =
	å	i		i		åê		i	å		k
	i=0					i=0	ë		k =0

2

×(x )k ù =e 2 (a , a ,..., a )®min.

ú

i û 0 1 m

46

При мінімізації похибки апроксимації, часткові похідні прирівнюються до нуля:

¶

e =

n é2 ×

éy - m

a

×(x

)k ù ×[- (x

)j ]= 0ù,

k

i

i

¶а j

åê

ê

i

å

ú

ú

i=0 ë

k =0

û

ë

û

в результаті отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь m +1-го порядку щодо невідомих a0 , a1 , a2 ,..., am :

m	n-1	n-1	)j × yi .
åak ×å(xi		)k + j = å(xi
k =0	i=0	i=0

Система приводиться до матричної форми

A × AX = YX .

При m = 3

æa

ö

æ

å(xi )0+0

å(xi )1+0

å(xi )2+0

å(xi

)3+0 ö

æ

å yi ×(xi

)0 ö

ç

i

i

i

i

÷

ç

i

÷

ç

0

÷

ç

å(xi

)0+1

å(xi

)1+1

å(xi

)2+1

å(xi

)3+1 ÷

ç

å yi ×(xi

)1 ÷

A =

ç a1

÷

AX

=

ç

÷

YX =

ç

÷

ça2

;

ç

i

0+2

i

1+2

i

2+2

i

3+2

;

ç

i

2 .

÷

å(xi )

å(xi )

å(xi )

å(xi

)

÷

å yi ×(xi

)

÷

ç

÷

ç

i

i

i

i

÷

ç

i

÷

ça

÷

ç

0+3

1+3

2+3

å(xi

3+3

÷

ç

å yi ×(xi

3

÷

è

3

ø

ç

å(xi )

å(xi )

å(xi )

)

÷

ç

)

÷

è

i

i

i

i

ø

è

i

ø

Рішення системи шукається у вигляді:

A = YX × AX -1.

Таблиця 9.1 – Індивідуальні	завдання	до	виконання	розрахунково-
графічної роботи «Апроксимація	експериментальних		даних функціональними
залежностям»

						p = а			0	+ а × s + а					2	× s 2		+ ... + а					m	× s m
										1
1
	s	0	1		1.5					2			2.5						3				3.5				4		4.5		5
	p	12	10.1		11.58			17.4				30.68					53.6					87.78					136.9		202.5		287
						g =	a		0	+ a	× s + а				2	×	s 2	+... +				а	m	× s m
										1
2
	s	0.5		1.5		2				2.5						3					3.5					4			4.5		5
	g	3.99		5.65		6.41				6.71				7.215						7.611						7.83			8.19		8.3

47

							k = а					0				+ а × s + а						2			× s 2		+ ... + а					m		× s m
																1
3
	s	0		0.5			1									1.5				2								2.5							3.5				3.5				4
	k	2.31		2.899			3.534									4.412				5.578								6.92							8.699				10.69				13.39
							v = а					0				+ а × s +				а		2			× s 2		+	... + а				m		× s	m
																1
4
	s	0.2			0.7									1.2									1.7									2.2						2.7					3.2
	v	2.3198			2.8569					3.5999									4.4357											5.5781								6.9459				8.6621
							w	= а					0			+ а × s			+ а				2		× s 2		+ ... + а						m	× s m
																	1
5
	s	1		2			3									4				5								6							7				8				9
	w	0.529		0.298			0.267									0.171				0.156								0.124							0.1				0.078				0.075
							q = а					0				+ а × s +				а		2			× s 2		+	... + а				m		× s	m
																1
6
	s	1		1.25			1.5									1.75				2								2.25							2.5				2.75				3
	q	5.21		4.196			3.759									3.672				4.592								4.621							5.758				7.173				9.269
							y = а					0			+ а × x +					а		2			× x 2		+	... + а					m	× xm
																1
7
	x	3		3.1		3.2							3.3						3.4								3.5						3.6				3.7			3.8				3.9
	y	0.61		0.6		0.592					0.58							0.585								0.583					0.582						0.57			0.572				0.571
							v = а				0				+ а ×u + а						2			×u 2			+... + а					m		×u m
																1
8
	u	2		2.5			3									3.5									4					4.5						5			5.5				6
	v	5.197		7.78			11.14									15.09				19.24								23.11								26.25			28.6				30.3
							r = а							0		+ а ×t +				а		2			×t 2		+	... + а				m		×t m
																	1
9
	t	1		2		3									4				5								6							7			8			9				10
	r	2.11		5.2		11.15				19.27								26.2								30.37						32.0					33.0			33.22				33.2
							r = а							0		+ а ×t + а						2			×t 2		+ ... + а					m		×t m
																	1
10
	t	0.66		0.9			1.17									1.47				1.7								1.74							2.08				2.63				3.12
	z	38.9		68.8			64.4									66.5				64.95								59.36							82.6				90.63				113.5
							r = а				0				+ а × h +					а	2			× h2			+	... + а				m		×h	m
																1
11
	h	2		4			6									8								10						12						14			16
	r	0.035		0.09			0.147									0.2						0.24						0.28								0.31			0.34
							g = а							0		+ а ×l + а							2		×l 2		+ ... + а					m		×l m
																	1
12
	l	0		0.5			1									1.5									2					2.5						3			3.5				4
	g	2		2.39			2.81									3.25						3.75						4.11								4.45			4.85				5.25
							y = а					0			+ а × x +					а		2			× x 2		+	... + а					m	× xm
																1
13
	x	1.2		1.4		1.6							1.8						2								2.2						2.4				2.6			2.8				3
	y	1.5		2.7		3.9							5.5						7.1								9.1					11.1					12.9			15.5				17.9

48

										y = а				0			+ а × x + а						2		× x 2		+... + а					m	× xm
																	1
14
	x	0							0.4								0.8										1.2								1.6							2
	y	1.2							2.2								3.0										6.0								7.7							13.6
										r = а			0			+ а × h + а						2			×	h2	+... + а				m		×h	m
																	1
15
	h	0.29			0.57					0.86									0.14								1.43						1.71					1.82				2
	r	3.33			6.67						7.5								13.33							16.67							23.33					27.8				33.35
										z = а						0	+	а ×t + а						2	×	t 2	+ ... + а				m		×t m
																	1
16
	t	1		1.14					1.29								1.43							1.57					1.71						1.86			1.92				2
	z	6.2		7.2					9.6								12.5							17.1					22.2						28.3			35.3				36.5
										z = а						0	+ а ×t +				а			2	×t 2		+ ... + а				m		×t m
																	1
17
	t	2		2.13					2.25								2.38							2.5					2.63						2.75			2.88				3
	z	12.57		16.43					19								22.86				26.71								31.86						37.0			43.43				49.86
										z = а						0	+ а ×t +				а			2	×t 2		+ ... + а				m		×t m
																	1
18
	t	3		3.13					3.25								3.38							3.5					3.63						3.75			3.88				4
	z	57.14		64.0					74.29								81.14				91.43								105.1						115.4			129.1				142.9
										z = а						0	+ а ×t + а							2	×t 2		+ ... + а				m		×t m
																	1
19
	t	0.88		0.9					0.91								0.93							0.94					0.96						0.97			0.99				1
	z	0.029		0.086					0.17								0.31							0.43					0.57						0.71			0.86				0.97
										y = а				0			+ а × x +				а		2		× x 2		+	... + а				m	× xm
																	1
20
	x	0		0.2				0.4				0.6							0.8							1				1.2						1.4			1.6				1.8
	y	0.072		0.073				0.075				0.096							0.12							0.16				0.24						0.35			0.42				0.47
										r = а						0	+ а ×t + а						2		×t 2		+ ... + а				m		×t m
																	1
21
	t	1		2					3								4			5							6						7			8			9				10
	r	2.11		5.2				11.15				19.27							26.2							30.37					32.0					33.0			33.22				33.2
										w =		а			0		+ а × s + а							2	× s 2		+ ... + а					m	× s m
																	1
22
	s	2		2.38					2.75								3.13				3.5								3.88						4.25			4.63				5
	w	3.5		2.29					2.29								1.99				1.71								1.5						1.35			1.21				1.14
										v = а				0			+ а × s +				а		2		× s 2		+	... + а			m		× s	m
																	1
23
	s	1		2.5					5								7.5				10								12.5						15			17.5				20
	v	1.11		1.57					2.26								2.84				3.25								3.75						4.05			4.45				4.75
										y = а				0			+ а × x +				а		2		× x 2		+	... + а				m	× xm
																	1
24
	x	1		1.5					2								2.5								3				3.5						4			4.5				5
	y	0.2140		0.2210					0.2237								0.2258				0.2262								0.2268						0.2275			0.2283				0.2288

49

									v = а			0	+ а × s + а				2	× s 2		+ ... + а		m		× s m
														1
25
	s	1				2				3						4				5				6					7		8
	v	43.75		32.25					17.83					8.76						4.0				1.77					0.76		0.32
	Приклад. Виконати апроксимацію експериментальних даних статечним
поліномом вигляду:
						y(x )= åm				аk × xk				= а0		+ а1 × x + а2 × x2							+ ... + аm × xm .
									k =0
										æ			0	ö						æ				7.34		ö
										ç			1	÷						ç				7.72		÷
										ç				÷						ç						÷
										ç			1.5	÷						ç				8.11		÷
										ç			2	÷						ç				8.49		÷
										ç			2.5	÷						ç				8.88		÷
										ç				÷						ç						÷
								X := ç					3	÷						Y := ç				9.26		÷
										ç			3.5	÷						ç				9.65		÷
										ç				÷						ç						÷
										ç			4	÷						ç				10.03 ÷
										ç			4.5	÷						ç				10.42		÷
										ç				÷						ç						÷
										è			5	ø						è				11.19 ø
	Графік залежності Y від X наведено на рисунку 9.1.
		12
		11
Y		10
		9
		8
		7
			0	0.5		1				1.5				2		2.5				3				3.5		4			4.5		5
																	X
						Рисунок 9.1 – Графік залежності Y від X

50