Для вирішення системи з метою знаходження оптимального плану необхідно знайти базисне рішення задачі. Для цього приймемо:

x₁ = 0; x₂ = 0; x₃ = 0; x₄ = 0; x₅ = 0; x₆ = 0, тоді x₇ = 933,0;

x₈ = 178,0; x₉ = 130,0; x₁₀ = 200,0; x₁₁ = 140,0; x₁₂ = 700000;

x₁₃ = 135000.

В результаті одержали позитивне рішення, яке задовольняє системі рівнянь, тобто перше допустиме рішення, яке також називається початковим опорним планом. Перша прийнята програма приводить до нульового значення цільової функції, тому що при x₁ = 0; x₂ = 0; x₃ = 0; x₄ = 0; x₅ = 0;

x₆ = 0; F_max = 0.

Отже, за початковий чи перший опорний план вибираємо таке рішення, при якому всі додаткові невідомі дорівнюють ресурсам (вони складають базисне рішення), а всі останні невідомі дорівнюють нулю. Іншими словами, можна сформулювати економічну суть першого опорного плану так: ресурси не використовуються, отже, вартість валової продукції дорівнює нулю (нічого не робимо - нічого не одержуємо).

Рішення задачі проводимо в симплексних таблицях (додаток №1) на основі таких перетворень. Заповнюємо першу симплексну таблицю: в стовпець і записуємо номер рівняння (обмеження ), наприклад,

1: в стовпець базисних невідомих по першому обмеженню - базисну невідому x₇ ; в стовпець с (оцінки цільової функції) записуємо коефіцієнт - цільової функції при невідомій x₇ ; він дорівнює 0. В стовпець Ві (стовпець ресурсів) записуємо величину ресурсу по першому обмеженню, він дорівнює 933,0. В стовпці х₁ , x₂ , … x₆ - записуємо коефіцієнти при основних невідомих, а в x₇ , x₈ … x₁₃ - коефіцієнти цільової функції. При рішенні задачі на тах вони записуються зі знаком мінус, а при рішенні на тіп - зі знаком плюс.

Таким чином ми склали перший опорний план. Задача вирішується на знаходження максимального значення цільової функції.

Згідно з алгоритмом симплексного методу наявність негативних коефіцієнтів в рядку т+1, цей індексний рядок вказує на можливість покращення плану. Оптимальним план буде в тому випадку, якщо в індексному рядку будуть позитивні величини або нулі. Отже, перший опорний план не оптимальний. Його треба покращувати.

Само рішення йде шляхом заміни базисних невідомих. Для цього необхідно визначити ключовий (генеральний) елемент. Він знаходиться на перехресті ключового (генерального) стовпця i ключового ( генерального) рядку. Ключовий стовпець визначаємо шляхом визначення в індексному рядку зі знаком мінус найбільшого по абсолютній величині коефіцієнта. В сімплексній табл. 1 ключовим стовпцем буде стовпець x₁ (коефiцiент дорівнює 1253).

Щоб вирішити питання про те, яку невідому вивести із базису( тобто визначити ключовий рядок), необхідно всі елементи стовпця ресурсів построчно розділити на відповідні позитивні коефіцієнти ключового стовпця. Результат записуємо по стовпцю, який називається стовпцем симплексних відносин.

Дозволяючий стовпець показує економічну доцільність ("вигідність") вводу перемінної в базис. В симплексній табл. 2 в рядку т + 1 число -1253.0 позначає вартість валової продукції, одержаної з 1 га садів.

Ключовий рядок вказує на саме вузьке місце в наявності ресурсів у виробництві. Якщо проаналізувати відношення ,

933,0 : 1 = 933,0 га

200,0 : 1 = 200,0 га

700000 : 1100 = 636,36 га

135000 : 160 = 843,75 га ,

то виявиться, що перший рядок: симплексне відношення рівно 933 га. Воно вказує на те, що ріллю богарну можна трансформувати в сади на площі 900 га. Четвертий рядок показує, що площа садів повинна бути не більше 200,0 га. Шостий рядок: це виділені грошові ресурси, яких достатньо на трансформацiю ріллі богарної в сади на площі 636,36 га. Сьомий рядок - кількість виділених трудових ресурсів достатньо на трансформацію ріллі богарної в сади площею в 843,75 га. Таким чином вузьким місцем в нашому плані є та умова, що площа садів не повинна бути більше 200,0 га.

Отже, із базису потрібно вивести x₁₀, а на його місце ввести x₁. Для цього складається інша симплексна таблиця або інший варіант плану. Перехід від однієї таблиці до іншої називається кроком або ітерацією. На кожному кроці (ітерації) в базис можна ввести тільки одну невідому і одну вивести.

В другій таблиці в рядку 4 замість x₁₀ в базис записується x₁ з оцінкою 1253 - останні базисні невідомі і їх оцінки не змінюються. Всі коефіцієнти другої симплексної таблиці розраховуються на основі першої. Перша симплексна таблиця є розрахунковою базою для другої, друга – для третьої і т.д., тобто наступна таблиця розраховується на основі попередньої.

Розрахунок і заповнення наступної таблиці завжди починають з дозволяю чого рядка. Коефіцієнти цього рядка i визначають шляхом ділення кожного коефіцієнта попередньої таблиці на дозволяючий (генеральний) елемент; результати записують в наступній таблиці.

В дозволяючому стовпці в наступній таблиці замість дозволяючого елемента ставиться одиниця, а на місце інших коефіцієнтів - нулі.