4. Екстремальні дотичні напруження

Якщо в якості первинних прийняти головні площадки (Рис.8), то вирази для нормальних і дотичних напружень, які діють на будь-яких площадках, нормаль до яких складає кут з додатним напрямом осі , набуває вигляду:

; (12)

. (13)

Рис.8

З виразу (13) випливає, що екстремальні дотичні напруження діють на площадках, нахиленим під кутом до головних площадок:

. (14)

Екстремальні дотичні напруження в точці дорівнюють напіврізниці головних напружень і діють на площадках, нахилених до головних площадок під кутом (Рис.8).

5. Деформований стан у точці. Узагальнений закон Гука

Деформований стан є сукупністю лінійних і кутових деформацій для всіляких положень осей координат, що проходять через точку. Вибираючи за вихідні головні площадки, опишемо відносні лінійні переміщення уздовж головних напрямів за допомогою закону, відомого як узагальнений закон Гука:

(15)

В ці формули розтягуюче напруження підставляється зі знаком “+”, а стискаюче – зі знаком “”.

При рівності нулю одного з трьох головних напружень маємо плоский напружений стан. У цьому випадку, наприклад, при , отримаємо:

(16)

Слід зазначити, що, якщо одне з напружень дорівнює нулю, наприклад , це не означає, що деформація уздовж третього головного напряму також дорівнює нулю. Дійсно, при маємо:

. (17)

При відомих напруженнях та за формулами (16) визначають відносні деформації і. Але в деяких випадках необхідно мати зворотну залежність. Помножуючи другий рядок формули (16) на і складаючи з першим, отримаємо:

(18)

6. Відносна зміна об'єму тіла при деформації

В процесі навантаження більшість елементів конструкцій, виконаних з різних матеріалів, міняє свій об'єм. Відносна зміна об'єму, або відносна об'ємна деформація, має вигляд:

, (19)

де  первинний об'єм зразка;  абсолютна зміна об'єму при деформації.

Формула (19) справедлива як для пружних, так і для пружно-пластичних деформацій.

Для пружної стадії роботи матеріалу можна виразити відносну зміну об'єму через напруження :

. (20)

Зокрема, при рівномірному всебічному стисканні, коли

. (21)

З виразу (21) випливає, що коефіцієнт Пуассона не може бути більший за 0,5, оскільки в протилежному випадку при всебічному стисканні тіло не зменшуватиметься, а збільшуватиметься в об'ємі, що суперечить фізичному змісту.

7. Потенціальна енергія деформації. Питома потенціальна енергія

Потенціальною енергією деформації називається енергія, що накопичується в тілі при його пружній деформації. Величину потенціальної енергії, яка накопичується в одиниці об'єму матеріалу, прийнято називати питомою потенціальною енергією:

, (22)

де  модуль пружності першого роду;  коефіцієнт Пуассона.

Вираз (22) записаний для питомої потенціальної енергії для випадку, коли відомі значення головних напружень . В тому випадку, якщо відомі неголовні нормальні напруження ,, і дотичні напруження ,питома потенціальна енергія набуває вигляду:

, (23)

де  модуль зсуву.

При деформації елемента міняється як його об'єм, так і форма. У зв'язку з цим можна вважати, що повна питома потенціальна енергія деформації складається з питомої потенціальної енергії зміни об'єму і питомої потенціальної енергії зміни форми :

. (24)

Питома потенціальна енергія зміни об'єму обчислюється за формулою:

. (25)

Питому потенціальну енергію зміни форми знайдемо з виразу:

(26

або з виразу:

. (27)

Приклад.Сталевий кубик (Рис.9,а) зазнає дії сил, що утворюють плоский напружений стан.

Необхідно знайти:

1. Головні напруження і положення головних площадок.

2. Максимальні дотичні напруження.

3. Відносні лінійні деформації .

4. Відносну зміну об'єму.

5. Повну питому потенціальну енергію деформації.

6. Питому потенціальну енергію зміни об'єму.

7. Питому потенціальну енергію зміни форми.

Рішення:

1. Визначаємо максимальні нормальні напруження:

=

= 165,6МПа.

=

= 125,6МПа.

Для перевірки використовуємо умову інваріантності (8):

165,6125,6=120+160 = const

2. Напрями головних напружень знайдемо, використовуючи вирази (11):

= 7,143; 82,03⁰;

 0,14;  7,97⁰ .

Для перевірки правильності рішення складемо абсолютні величини кутів і . Зважаючи на те, що головні осі взаємно перпендикулярні, в сумі має вийти кут 90⁰:

82,03⁰ +7,97⁰ = 90⁰.

Рішення виконане вірно. Відкладаємо знайдені кути на рисунку (Рис.9,б) і проставляємо значення головних напружень.

3. Для визначення максимальних дотичних напружень скористаємося виразом:

МПа.

4. Відносні лінійні деформації знайдемо, скориставшися виразами (16) і (17):

5. Відносна зміна об'єму дорівнює:

.

6. В якості перевірки обчислимо відносну зміну об'єму елементарного паралелепіпеда за формулою (20), враховуючи, що головне напруження :

.

Вийшло те ж саме число.

7. Визначаємо повну питому потенціальну енергію деформації, використовуючи вираз (23) та враховуючи, що напруження :

=139195,84 Дж/м³.

8. Визначаємо питому потенціальну енергію зміни об'єму за формулою (25) за умови, що :

Дж/м³.

9. Визначаємо питому потенціальну енергію зміни форми за формулою (2.27), враховуючи, що :

= 138662,5 Дж/м³.

10. Виконуємо перевірку за формулою (26):

Дж/м³.

Порівнюючи отриману суму з величиною повної питомої потенціальної енергіїдеформації, обчисленої в п.7 даного прикладу, приходимо до висновку, що значення енергії практично співпадають.