Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§1. Основные понятия об уравнениях первого порядка

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

, (1)

где - функция, определенная в некоторой области,x - независимая переменная, - искомая функция переменнойx, а - ее производные.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, явно входящей в это уравнение. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция , которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называетсяинтегрированием уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка следующий:

. (2)

Если уравнение (2) удается разрешить относительно , то получим уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

.

Теорема (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка). Если в уравнении функцияи ее частная производнаянепрерывны в некоторой области, содержащей точкуна плоскостиOxy, то в некоторой окрестности точки существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию: .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что в указанной окрестности существует и притом единственная интегральная кривая уравнения, проходящая через точку .

Условие, что при функциядолжна равняться заданному числу, называется начальным условием. Оно записывается в виде или . Задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию, носит название задачи Коши.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

, (3)

удовлетворяющая следующим условиям:

1) она является решением дифференциального уравнения при любом конкретном значении постоянной ;

2) для любых начальных условий , гдеможно найти такое значение, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.

Равенство вида , неявно задающее общее решение, называетсяобщим интегралом дифференциального уравнения. Решение, полученное из общего решения (интеграла) дифференциального уравнения при фиксированном С называется частным решением (интегралом) этого уравнения.

§2. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

, (1)

которое называется уравнением с разделяющимися переменными (здесь и в дальнейшем все функции подразумеваются непрерывными в некоторой области). Предполагая, что , преобразуем его следующим образом:

. (2)

Интегрируя левую и правую части, получим общий интеграл уравнения (1):

.

Дифференциальное уравнение типа (2) или вида

называют уравнением с разделенными переменными. Его общий интеграл есть

.

Уравнение вида

,

в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от , также называется уравнением с разделяющимися переменными. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.