Системы счисления

Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. Пример непозиционной системы — римская. В настоящее время используются в основном позиционные системы. В позиционной системе счисления каждая цифра имеет свой «вес», то есть значение цифры зависит от ее расположения в записи числа.

Запись числа в позиционной системе представляет собой сокращенный вариант записи выражения:

,

где р - основание системы счисления, a_i, – цифры (0 ≤ а_i ≤ р-1).

Примеры.

1. Число 1 в обычной десятичной системе счисления означает один.

2. В числе 11 первая цифра справа означает 1, а вторая цифра справа — уже 10, поэтому число 11 означает 10+1, т. е. одиннадцать.

3. Рассуждая аналогично, получаем, что число 111 = 100 + 10 + 1, т. е. означает сто одиннадцать.

Основание системы счисления — это количество цифр позиционной системы счисления.

Позиционные системы отличаются друг от друга количеством цифр своего алфавита. Поэтому они именуется по своему основанию: десятичная, двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д.

Привычная нам десятичная система счисления имеет алфавит, состоящий из 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Пример. 512 = 5∙100+1∙10+2∙1. В числе 512 пять сотен, один десяток и две единицы.

Никаких преимуществ перед другими основаниями число 10 не имеет. Десятичная система кажется нам удобной только потому, что мы привыкли к ней с детства. В компьютерной технике более удобна двоичная система счисления.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий из двух цифр:

0 и 1.

Это система счисления с минимальным основанием. Поэтому в компьютерах используется именно эта система. Простота выполнения операций в двоичной системе счисления связана с двумя обстоятельствами:

1) простотой аппаратной реализации: 1 — есть сигнал, 0 — нет сигнала;

2) самое сложное действие таблицы умножения — это 1₂  1₂ = 1₂, а самое сложное действие таблицы сложения — 1₂ + 1₂ = 10₂.

Почему в двоичной системе при сложении двух единиц счисления получается 10? Эта ситуация аналогична той, когда в десятичной системе к девяти прибавляется один: 9₁₀ + 1₁₀ = 10₁₀. На девятке цифры десятичной системы заканчиваются, и затем следует наименьшее двузначное число десять 10₁₀. В двоичной системе цифры заканчиваются на единице, и после нее идет наименьшее двузначное число десять 10₂.

Двойка внизу в виде нижнего индекса означает, что числа записаны в двоичной системе. При записи чисел в разных позиционных системах счисления основание системы записывается в виде нижнего индекса. Этот индекс всегда записывается только в виде числа в десятичной системе.

Таблицы умножения и сложения

Запишем таблицы умножения и сложения для двоичной системы (табл. 5 и 6). Отметим, что таблица сложения сложнее таблицы умножения.

Таблица сложения двоичных чисел

+	0	1
0	0	1
1	1	102

Таблица умножения двоичных чисел

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Натуральные двоичные числа

Выпишем первые натуральные двоичные числа от 0 до 16. Цифровую запись следующего числа можно получить, используя основное свойство натуральных чисел: следующее число больше предыдущего на 1.

Поэтому для получения следующего двоичного числа после 1₂ прибавим к 1₂ число 1₂, получим 1₂ + 1₂ = 10₂, т. е. «десять». Отсюда имеем: 2₁₀ = 1₂ + 1₂ = 10₂.

Столбиком посчитаем следующие по порядку двоичные числа, т. е. прибавим 1₂ к 10₂ , затем к 11₂ и т. д.

Первые двоичные натуральные числа от 0 до 16

Десятичное число	Двоичное число
0	0
110	1
210	102
310	112
410	1002
510	1012
610	1102
710	1112
810	10002
910	10012
1010	10102
1110	10112
1210	11002
1310	11012
1410	11102
1510	11112
1610	100002

Перевод числа из двоичной системы в десятичную

Перевести любое двоичное число в десятичное можно по формуле

Примеры.

1. 1101₂=1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰= 13₁₀.

2. 101010₂=1∙2⁵+ 1∙2³+ 1∙2¹= 42₁₀.

3. 1011000₂= 1∙2⁶+1∙2⁴+1∙2³= 88₁₀.

4. 11,01=1∙2¹+1∙2⁰+0∙2^-1+1∙2^-2= 3,25₁₀.

Перевод числа из десятичной системы в двоичную

1. Делим число на основание системы счисления. Запоминаем остаток.

2. Снова делим частное на основание системы. Запоминаем остаток.

3. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока в частном не получится 1.

4. Записываем последовательно последнее частное (1) и все остатки в обратном порядке.

Пример. Переведем число 36₁₀ в двоичную систему.

36 : 2 = 18. Остаток 0.

18 : 2 = 9. Остаток 0.

9 : 2=4. Остаток 1.

4 : 2=2. Остаток 0.

2 : 2=1. Остаток 0.

36₁₀= 100100₂.