- •1.3 Понятие функции.
- •1.4 Основные характеристики функций.
- •2. Числовые последовательности.
- •2.1 Определения и основные понятия.
- •2.2 Предел последовательности.
- •2.3 Бесконечнобольшие(б.Б.) и бесконечномалые(б.М.) последовательности.
- •2.4 Сходящиеся последовательности.
- •2.5 Монотонные последовательности.
- •3. Предел функции.
- •3.1 Основные определения.
- •3.2 Односторонние пределы.
- •3.3 Бесконечно большие(б.Б.) и бесконечно малые(б.М.) функции.
- •3.4 Основные теоремы о пределах.
- •3.5 Первый замечательный предел.
- •3.6.Второй замечательный предел.
- •3.7. Сравнение бесконечно малых величин.
- •4. Непрерывность функций
- •4.1.Непрерывность функции в точке
- •4.2 Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •4.3 Классификация точек разрыва
- •4.4 Свойства функций, непрерывных в точке
- •4.5 Свойства функций, непрерывных на отрезке (a;b)
- •5. Дифференцирование
- •5.1 Понятие производной
- •5.2. Геометрический смысл производной
- •5.3 Дифференцируемость функции
- •5.4 Правила дифференцирования.
- •5.5 Производные элементарных функций
- •5.6 Производная сложной функции
- •5.7 Производная обратной функции
- •5.8 Понятие дифференциала
- •5.9 Производная и дифференциал высших порядков
- •6. Применение диф. Исчисления к исследованию функций.
- •6.1 Основные теоремы дифференциального исчисления
- •6.2 Правило Лапиталя
- •6.3 Монотонность функций.
- •6.4 Экстремумы функций.
- •6.5 Направление выпуклостей и точки перегиба графика функций.
- •6.6 Асимптоты графика функций
- •6.7 Схема исследования функции и исследование её графика
- •6.8 Формула Тейлора
- •1.1.Основные определения.
- •1.2 Предел функции двух переменных.
- •1.4 Основные свойства непрерывных функций двух переменных.
- •2 Дифференцирование функций нескольких переменных
- •2.1 Частные производные
- •2.2 Понятие дифференцируемости
- •2.3 Производные сложных функций
- •2.4 Дифференциал функции
- •2.5 Производная по направлению и градиент
- •2.6 Экстремум функции двух переменных
- •2.7 Условный экстремум
- •2.8 Минимум и максимум функции двух переменных
- •Глава 5. Интегральное исчисление.
- •1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная
- •1.2 Неопределённый интеграл
- •1.3 Таблица основных интегралов
- •3.2 Формула Ньютона-Лейбница.
- •3.3 Основные свойства определённого интеграла
- •3.4 Интеграл с переменным верхним пределом
- •3.5 Основные методы интегрирования
- •3.6 Не собственный Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
2.3 Бесконечнобольшие(б.Б.) и бесконечномалые(б.М.) последовательности.
{xn}- называется бесконечно большой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |xn|>M. (M>0NM:n>N=>|Xn|>M)
{xn}- называется бесконечно малой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |xn|<M.
Теорема: если последовательность {xn}-бесконечно большая и все её члены отличны от нуля, то последовательность -бесконечно малая и обратно, если {n}-бесконечно малая, и члены отличны от нуля, то -бесконечно большая последовательность.
Доказательство:
Пусть {xn}-бесконечно большая. M>0NM:n>N=>|Xn|>M. Пусть ,n>N – бесконечно малая и обратно.
Основные свойства бесконечно малых/больших последовательностей.
Теорема: сумма и разность б.м.п. есть б.м.п. Док-во: n – б.м., n-б.м. /2>0N1:n>N1=>|n|</2, /2>0N2:n>N2=>|n|</2. N=max{N1,N2}, тогда n>N будут одновременно выполнятся |n|</2 и |n|</2 => n>N |n+-n| |n|+|n| < /2+/2=, n>N |n+-n| < - бесконечно малая.
Следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть б.м.п.
Теорема: Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.
Док-во: n – б.м., n-б.м. Так как n – б.м., то >0N1:n>N1=>|n|<, =1N2:n>N2=>|n|<1. N=max{N1,N2}, тогда n>N существует |n|< и |n|<1 => |n|*|n|<*1=, |n*n|-бесконечно малая.
Следствие: произведение любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п.
Замечание: частное 2-х б.м.п. может не быть б.м.п.
Последовательность {Xn} называется ограниченной, если существует такое c>0, что для всех членов последовательности выполняется: c>0:n>N=>|Xn|>c
Теорема: произведение ограниченной последовательности на б.м. есть б.м.п. Док-во: Пусть Xn-ограниченная, n – б.м. Так как Xn-ограниченная, то c>0:n>N=>|Xn|>c, так как n – б.м., то /с>0N:n>N=>|n|</с. Тогда |Xn*n| = |Xn|*|n| < c*/c=, |Xn*n|<c-б.м.п.
Теорема:
Замечание:
2.4 Сходящиеся последовательности.
Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящей.
Замечание: б.б.п. не имеет предела или говорят, что она имеет бесконечный предел.
Всякая б.м.п. является сходящей и имеет пределом число 0.
Теорема: всякая сходящаяся последовательность ограничена. Док-во: , тогда по определению >0N:n>N=>|Xn-A|<, А-<Xn<A+, -|A|-<Xn<|A|+, *|Xn|<|A|+,n>N. Членов, чля которых не выполнено * конечное число. Это числа Х1,Х2…ХN. Обозначим за k=max{|Х1|,|Х2|…|ХN|} и возьмем в качестве c=max{k, |A|+}, тогда n>N=>|Xn|<c-ограниченная последовательность.
Замечание: ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Xn=(-1)n.
Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Док-во от противного: Пусть есть АВ; , , ]A<B, тогда ,
N1:n>N1=>|Xn-A|<; ,N2:n>N2=>|Xn-B|<; А-<Xn<A+, B-<Xn<B+. Nmax={N1,N2}. n>N, Xn находится в окрестности чисел А и В, но так как эти окрестности не пересекаются (учитывая выбранное нами ), то получаем противоречие, следовательно предположение не верно.
Теорема(о предельном переходе в неравенства): пусть. Док-во: Пусть выполняются все условия теоремы, ноA>B. >0N:n>N=>|Xn-A|<, или A-<Xn<A+. >0N:n>N=>|Yn-B|<, или B-<Yn<B+; пусть , тогда Xn>A-, Xn>A-, Xn>, и ещё Yn<B+, Yn<B+, Yn<, т.е. Xn>Yn что противоречит условию.
Теорема о сжатой переменной: Если . Док-во: есть>0, тогда для Xn, N1:n>N1=>|Xn-A|<, A-<Xn<A+, так как , >0N2:n>N2=>|Yn-A|<, A-<Yn<A+, N=max{N1;N2}. Тогда n>N выполняется оба подчёркнутых неравенства. Используя подчёркнутое, а так же исходное неравенство имеем: A-<XnZnYn<A+ => A-<Zn<A+, |Zn-A|<, n>N=>.
Свойства пределов последовательностей.
т.к. Xn=A+б.м.п.
, если все члены Yn отличны от нуля и В0.