10

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова

Кафедра теории электрической связи им. А.Г. Зюко

Задание на курсовую РАБОТУ по дисциплине Основы теории цепей, сигналов и процессов в системах технической защиты информации на тему «Анализ характеристик сигналов и их преобразований» и методические указания к его выполнению

(2014/15 уч. год, группа ТЗИ 2.02)

Составитель Иващенко П.В.

СХВАЛЕНО на засіданні кафедри теорії електричного зв’язку ім. А.Г. Зюко Протокол № 3 від 08 жовтня 2014 р.

Одесса 2014

Содержание курсовой работы

Студент выполняет курсовую работу (КР) по варианту, номер которого совпадает с порядковым номером фамилии студента в журнале академической группы. Выполнение курсовой работы состоит в решении трех задач. Во всех вариантах условия задач совпадают, а конкретные исходные данные для заданного номера варианта студент выписывает из Приложения А этого пособия. Студент оформляет выполненную КР согласно правилам оформления текстовых документов (Приложение Д). Все графики строятся с использованием числовых масштабов по осям координат. Оформленную КР студент сдает руководителю на рецензирование и, после положительной рецензии, защищает ее.

Задача 1

Импульсный сигнал s(t) задан аналитическим выражением, определяющим его форму. Это может быть импульс: ГАУССОВСКИЙ, ДВУСТОРОННИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ, ТРЕУГОЛЬНЫЙ, КОСИНУС, КОСИНУС-КВАДРАТ или ПОДНЯТЫЙ КОСИНУС. Заданы также два числа:A(мВ), определяющее амплитуду импульса, иb(мc), определяющее скорость изменения сигнала.

Необходимо:

1. Рассчитать и построить график сигнала s(t), определить его длительность.

2. Найти выражение для спектральной плотности сигнала S(j). Построить график амплитудного спектраS(f) = |S(j2f)| для области значенийf 0.

3. Определить ширину спектра сигнала F_max, как протяжность интервала (0,F_max), вне которого нормированные значения амплитудного спектраS(f)/S(0) не превышают заданное значениеy.

Указания к решению задачи 1

Задача 1 относится к разделу “Спектральный анализ непериодических сигналов с помощью преобразования Фурье”. Некоторые сведения о спектральном представлении непериодических сигналов приведены в литературе [1, разд. 2.6].

Расчет и построение графика заданного сигнала s(t)

Общий вид сигналов, которые встречаются при выполнении КР, показан в Приложении Б. Необходимо построить график с использованием числовых масштабов по осям координат. Заданная функция s(t) четная, поэтому для построения графика достаточно рассчитать точки дляt0. При выборе значений переменнойtследует учитывать скорость изменения заданной функцииs(t).

В случае гауссовского и двустороннего экспоненциального импульсов, учитывая, что е⁰= 1,е^–1 = 0,368;е^–2= 0,135;е^–3= 0,050;е^–4= 0,018, значенияtвыбирают таким образом, чтобы аргумент экспоненты принимал значения от 0 до 4 с шагом 0,5 или 1.

В случае косинус-импульса и косинус-квадрат импульса значения tвыбирают так, чтобы аргумент косинуса принимал значения 0;/8;/4; 3/8;/2. В случае поднятого косинус-импульса – значения 0;/4;/2; 3/4;.

Пример 1. Задан сигнал – степенной импульс

где А= 50 мВ,b= 80 мс.

Из аналитического описания видно, что функция s(t) четная, максимальное значение импульсаs(0) =A. При измененииtот 0 доb/2 функцияs(t) монотонно убывает, поэтому достаточно рассчитать 2 или 3 промежуточные точки. Результаты расчета представлены в табл. 1.

Таблица 1 –Расчетные значения степенного импульсаs(t)

t, мс	0	10	20	30	40
s(t), мВ	50	46,9	37,5	21,9	0

Построенный по точкам табл. 1 график s(t) приведен на рис. 1.

Получение выражения для спектральной плотности заданного сигнала

Поскольку заданный сигнал – функция четная, то целесообразно использовать косинус преобразование Фурье

.

В Приложении Г приведены некоторые соотношения, которые помогут выполнить математические преобразования. Рекомендуется интегрирование выполнить в общем виде, а числовые даны подставить в конечный результат. Для получения конечного выражения следует перейти к частоте f, выполнив замену= 2f.

В Приложении В приведены конечные выражения для спектральной плотности S(f), как справочные данные для самопроверки.

Пример 2. Найдем спектральную плотность для сигнала, использованного в примере 1.

= 2А–=

= 2 А–=

= 2 А.

Переходя к переменной f, получим окончательное выражение для спектральной плотности

, –f.

Построение графика амплитудного спектра

Амплитудный спектр – это модуль спектральной плотности S(f). Для построения графика важно определиться с шагом для переменнойf. Для этого можно воспользоваться видом графиковS(f), приведенных в Приложении В. Из этих рисунков видно, что достаточно просчитать значения функцииS(f)для области значенийfот нуля до 3/b. С учетом скорости изменения функцииS(f)шаг дляfв 3–4 раза меньше, чем 1/b. Необходимо обязательно найти экстремальные значения функцииS(f).

При расчетах значений функций S(f)может появиться неопределенность вида 0/0. Эту неопределенность можно снять по известным математическим правилам. Приведем некоторые из неопределенностей, которые встречаются при выполнении ИЗ. Они раскрываются по правилу Лопиталя

;;

.

Пример 3.Для найденной в примере 2 спектральной плотности построить график амплитудного спектраS(f). Приf= 0 имеем неопределенность 0/0. Положимbf=xи раскроем ее

.

Выберем для сложной переменной bfшаг, равный/4, или шаг дляf= 1/(4b). Учитывая, чтоb= 80 мс, в качестве шага дляfпримем целое число, а именно 4 Гц. Результаты расчетов сведем в табл. 2.

Таблица 2 –Расчет графика амплитудного спектра

f, Гц	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
bf	0	1,01	2,01	3,02	4,02	5,03	6,03	7,04	8,04	9,05	10,05
S(f), мВ/Гц	2,67	2,40	1,73	0,91	0,22	0,16	0,22	0,10	0,04	0,09	0,06

Экстремальное значение функции S(f), когда она принимает нулевое значение, имеет место при sin(bf)/(bf) – cos(bf) = 0, или tg(bf)= bf. Подбором на калькуляторе найдем, что первый нуль имеет место приbf₀₁= 4,5;f₀₁= 4,5/(b) = 4,5/(0,08) = 17,9 Гц.

Рассчитанный графикS(f)приведен на рис. 2.

Определение максимальной частоты спектра сигнала F_max

Частота F_maxопределяется по условия, что значения амплитудного спектра на частотахfF_maxне превышают заданное значениеy=S(F_max)/S(0). РекомендуетсяF_maxопределить графически, хотя для гауссовского и двустороннего экспоненциального импульсовF_maxможно определить аналитически. Итак, на графикеS(f)необходимо указать значениеS(F_max)=yS(0), а затем определить значениеF_maxна пересечении горизонтальной прямой на уровнеS(F_max)и графикаS(f).

Пример 4. Для спектра, рассчитанного в примере 3, определитьF_maxпри условии, чтоy =S(F_max)/ S(0) = 0,05. ПосколькуS(0) = 2,67 мВ/Гц,S(F_max)= 2,670,05 = 0,13 мВ/Гц. На пересечении горизонтальной прямой на уровне 0,13 и графикаS(f)(рис. 2) находим, чтоF_max= 27 Гц.