Справочный материал
Раздел I. Линейная алгебра
1.1 Матрицы Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов называется числовой матрицей порядка (размера) mxn:
A = (1)
Сокращенно: А= (),– элементы матрицы,i – номер строки, j – номер столбца,
i = 1,2,…,m (i=), j = 1,2,…,n (j=).
Виды матриц :
Если m=n , то матрицу называют квадратной ;
Если m=1 – матрицей-строкой ;
Если n=1 – матрицей-столбцом.
В частности,
A = - квадратная матрица 2-ого порядка.(2)
A = - квадратная матрица 3-его порядка,(3)
Числа a11, a22, a33 образуют главную диагональ ( i=j )
Ряд определений в дальнейшем будет дан для матрицы (3).
–матрица-строка порядка 1х3,
–матрица-столбец порядка 3х1 .
Квадратная матрица, имеющая ненулевые элементы только на главной диагонали, называется диагональной:
diag A =
Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, называется единичной:
E =
Сокращенно : E= (δij)
δij = - символ Кронекера.
Прямоугольная (в общем случае) матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой:
0 =
Замена каждой строки матрицы A её соответствующим столбцом называется транспонированием. Транспонированная по отношению к матрице A матрица обозначается :
= ,
очевидно, =A
Пример 1 Классифицировать следующие матрицы:
A = ,B = ,D = ,
С = ,G = ,F = ,
N = ,Q = ,K = .
Решение: A, B, D, C – квадратные матрицы,
A, B, D – 3-его порядка, C – 2-ого.
G, F – прямоугольные, соответственно 2х3 (содержащая две строки и три столбца)
и 3х2 (три строки и два столбца) – порядка, N – матрица-строка 1х3 порядка, Q – матрица-столбец 3х1 – порядка, K – матрица-скаляр (число), D – диагональная, =B , =F , =Q .
1.2 Действия над матрицами
Матрицы А и В одной размерности считаются равными, если равны их соответствующие элементы: А=В
Сложение(вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно:
С = А + В , если
Умножение матрицы на число λ – каждый элемент матрицы умножается на это число:
B = λ × A , если
2) и 3) - линейные операции над матрицами.
Замечание 1: Сложение (вычитание) и умножение матрицы на число – линейные операции над матрицами.
Пример 2 Найти сумму матриц A + B из Примера 1
Решение: А + В = =
Замечание 2: Матрица А + В симметричная, справедливо равенство:
А + В = . У симметричной матрицы элементы, симметричные главной диагонали равны.
Пример 3 Найти линейную комбинацию матриц 2А + - 4Е , если
А = , В =, Е =
Решение:
2 ∙ А = ,=, 4Е =.
2А + - 4Е = + - =
Умножение матриц.
Произведение А ∙ В определяется не для произвольных матриц А и В. Оно имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А ровно числу строк В. При этом А ∙ В есть матрица С , каждый элемент которой равен сумме последовательных произведений элементов i- той строки матрицы А на соответствующие элементы j- того столбца матрицы В.
∙=
= ∙ + ∙ + … + ∙= ∙ , i = , j= .
Найти произведения матриц:
Пример 4
∙= =
Пример 5
∙= =
Пример 6
А ∙ В = ∙=
= 4 ∙ (-2) + 1 ∙ 3 + 5 ∙ 0 = -5
= 4 ∙ 6 + 1 ∙ 7 + 5 ∙ (-1) = 26
= 3 ∙ (-2) + 0 ∙ 3 + 2 ∙ 0 = -6
= 3 ∙ 6 + 0 ∙ 7 + 2 ∙ (-1) = 16
А ∙ В =
На рисунке 1 схематично показано получение элемента в произведении матриц :
Рисунок 1
Рисунок 2 получение элемента :
Рисунок 2
Пример 7
B ∙ A = =
= -2 ∙ 4 + 6 ∙ 3 = 10 ; = -2 ∙ 1 + 6 ∙ 0 = -2 ;= -2 ∙ 5 + 6 ∙ 2 = 2 ;
= 3 ∙ 4 + 7 ∙ 3 = 33 ; = 3 ∙ 1 + 7 ∙ 0 = 3 ;= 3 ∙ 5 + 7 ∙ 2 = 29 ;
= 0 ∙ 4 + (-1) ∙ 3 = -3 ; = 0 ∙ 1 + (-1) ∙ 0 = 0 ;= 0 ∙ 5 + (-1) ∙ 2 = -2.
Замечание 3: В общем случае АВ ≠ ВА (примеры 6-7).
Матрицы, для которых выполняется равенство АВ = ВА называются коммутативными.
Пример 8
А ∙ В =∙ =
А ∙ В = 0 (Хотя А ≠ 0, В ≠ 0)
Замечание 4: В теории матриц нулевая матрица 0 и единичная Е играют роль чисел соответственно 0 и 1 в арифметике, т.е.
ЕА = АЕ = А , А ∙ 0 = 0 ∙ А = 0, А + 0 = 0 + А.