1.3 Определители квадратных матриц
Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, которое называется её определителем и обозначается det A, ∆ или |A|. Определитель матрицы А также называют её детерминантом.
Определитель матрицы 2-ого порядка (2) вычисляется по формуле:
det A ==
Схема вычисления:
рис.3
Пример 9 Вычислить определитель матрицы
А=
Решение:
Определитель матрицы 3-его порядка (3) вычисляется по формуле:
=
Схема вычисления по правилу треугольника:
рис.4
Схема вычисления по правилу Саррюса:
рис.5
_ +
_ +
_ +
- к исходному определителю приписывают два первых столбца и составляют две группы произведений.
Пример 10 Вычислить определитель матрицы
а) вычислим определитель по правилу треугольника, используя рис.4:
б) вычислим определитель оп правилу Саррюса, используя рис.5:
― +
Пример 11 Вычислить определитель .
Решение:
∙
(по правилу треугольника)
Минором элемента определителя называется определитель, который получается из данного путем вычеркиванияi-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых стоит элемент . Обозначается.
Алгебраическим дополнением элементаопределителя называется число, которое определяется по правилу:
Пример 12. Вычислить алгебраическое дополнение элементов определителя
Решение:
Теорема разложения:
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
, j= 1, 2, …, n.
В частности,
–вычисление определителя путем разложения по элементам 1-ой строки.
–вычисление определителя путем разложения по элементам 3-его столбца.
Пример 13. Вычислить определитель из примера 10 путем его разложения по элементам 1-ой строки; 2-ой строки.
Решение
а) ∆=(по элементам 1-ой строки)
б) ∆=(по элементам 2-ой строки)
Замечание 5: При выборе знака перед минором в алгебраическом дополнении нужно руководствоваться следующим правилом:
Основные свойства определителей
1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером (транспонирование определителя). Например,
2. Перестановка двух строк (или столбцов) определителя равносильна его умножению на (-1). Например,
; ;
.
3. Умножение всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя на () числоК равносильно умножению определителя на это число К. Например,
4. Определитель равен нулю, если: все элементы строки (или столбца) равны 0 (к=0); элементыдвух строк (или столбцов) пропорциональны либо равны. Например,
(строки пропорциональны: вторая строка получается путем умножения всех элементов первой на 2)
5. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на общий множитель. Например,
Пример 14 Вычислить определитель 4-ого порядка:
Решение:
Используем теорему разложения и свойства определителей. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2), к третьей – первую, умноженную на (-1), к четвертой – первую. После этого все элементы первого столбца, кроме первого элемента, будут равны нулю. Применяя теорему разложения к этому столбцу, понизим порядок определителя:
=
Полученный определитель 3-его порядка можно вычислить по правилу треугольника (рис.4), по правилу Саррюса (рис.5). Удобно применить теорему разложения ко второй строке:
Пример 15 Вычислить определитель
Решение:
Поменяем местами первую и четвертую строки:
Прибавим ко второй строке первую , умноженную на (-7) , к четвертой первую , умноженную на (-2).
=
применили теорему разложения к первому столбцу, далее, общий множитель у элементов третьей строки 3 вынесем за знак определителя и для вычисления последнего применили правило треугольника.