31. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, ее свойства.

Основная задача математической статистики состоит в получении выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений над ними или экспериментов.

Генеральной совокупностьюназывают совокупность результатов всех мысленно возможных наблюдений за какой-либо случайной величиной Х, проводимых в одинаковых условиях. Иными словами, генеральная совокупность представляет собой набор всех возможных значений данной случайной величины.

Выборкойназывают результаты ограниченного числа наблюдений за случайной величиной Х. Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по выборке как некоторой части генеральной совокупности делать выводы о генеральной совокупности в целом.

Выборку называют репрезентативной,если она адекватно отражает исследуемые свойства генеральной совокупности. Чтобы выборка была репрезентативной, можно организовать ее следующим способом. Из генеральной совокупности случайным образом отбирается элемент, затем он обследуется, после чего возвращается в общую совокупность и может быть отобран и обследован повторно. Такая выборка называетсяповторной случайной.

Конкретной выборкойназывается конкретный набор чисел х₁,х₂,…,х_n, полученный в результате наблюдений за случайной величиной Х, т.е. набор, состоящий изnреализаций случайной величины Х.

Выборочным среднимназывается:

Х = ∑Х_i/n

32. Статистический и интервальный ряды распределения.

Расположив элементы выборки в порядке не убывания, получим вариационный рядх₁,х₂,…,х_n. Если в вариационном ряду есть повторяющиеся элементы, то выборку можно записать в видестатистического ряда распределения, т.е. в виде таблицы:

Х	Х’1	X’2	...	X’k
р	p^1	p^2	...	p^k

Для непрерывных случайных величин при достаточно больших объемах выборки nвместо статистического ряда распределения используютинтервальный вариационный ряд,

X	[a1;a2)	[a2;a3)	...	[av;av+1)
p	p^1	p^2	...	p^v

Где v– число интервалов одинаковой шириныh=х_n-x₁/1+3,322lgn(x₁и х_n– соответственно минимальный и максимальный элементы выборки; значениеhрассчитывается с числом знаков после запятой, на единицу большим, чем в исходных данных).

33. Выборочные аналоги функции распределения и функции плотности. Полигон, гистограмма, кумулята.

Выборочным аналогом плотности распределенияf_x(x) случайной величины Х служит выборочная плотность распределенияf^_x(x) =p^_i/hпри х €[a_i;a_i+1) (i= 1,2,...,v).

Полигоном частотназывают ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁,n₁), (x₂,n₂),...,(x_k,n_k), гдеx_i– варианты выборки иn_i– соответствующие им частоты.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношенияn_i/h(плотность частоты)

34. Распределения χ2, t, f.

35. Свойства точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.

Статистической оценкойΘ* неизвестного параметра Θ теоретического распределения называют функциюf(Х₁,Х₂...,Х_n) от наблюдаемых случайных величин Х₁,Х₂,…,Х_n .

Точечнойназывают статистическую оценку, которая определяется одним числом Θ* =f(x₁,x₂,...,x_n), где х₁,х₂,…,х_n– результатыnнаблюдений над количественным признаком Х (выборка).

Несмещеннойназывают точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при лбом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной среднейслужит выборочная средняя

Х_в= (∑n_ix_i)/n

Где x_i– вариант выборки,n_i– частота вариантыx_i,n= ∑n_{i –} объем выборки.