- •Модуль 1 (Лекції №1-3) Розв’язання нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь Лекція 1
- •1. Методи розв’язання нелінійних рівнянь.
- •Одне рівняння
- •2. Теоретичні положення.
- •3. Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь
- •3.1 Метод половинного ділення.
- •Лекція 2
- •3.2 Метод пропорційних частин (хорд)
- •3.3 Метод Рибакова
- •Лекція 3
- •3.4 Метод Ньютона (дотичних)
- •3.5 Метод січних
- •Лекція 4-5. Початкова обробка даних
- •Лекція 6-7 Інтерполяція функцій Постановка задачі інтерполяції
- •Поліноміальна інтерполяція
- •Багатоінтервальна інтерполяція
- •Інтерполяція для випадку рівновіддалених вузлів
- •Інтерполяційні формули Ньютона
- •Інтерполяційні формули Гаусса
- •Перша інтерполяційна формула Гауса:
- •Друга інтерполяційна формула Гауса:
- •Інтерполяційна формула Стірлінга
- •Інтерполяційна формула Бесселя
- •Інтерполяція для випадку довільних вузлів. Інтерполяційна формула Лагранжа
- •Лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •Метод гауса.
- •Метод Рунге-Кута
- •Метод а.Н. Крилова послідовних наближень
- •Метод Адамса
- •2. Розробка програми
- •2.1 Обчислювальна схема методу Рунге-Кута:
- •2.2 Обчислювальна схема методу Адамса:
- •2.3 Обчислювальна схема методу Крилова:
- •2.4 Структура програми
- •2.5 Опис роботи програми
- •2.6 Опис інтерфейсу користувача
- •2.7 Приклад роботи програми
- •Список літератури:
- •Лекція 14-15.Чисельне інтегрування функцій
- •1. Вступ. Загальні відомості про чисельні інтегрування.
- •2. Огляд методів чисельного інтегрування.
- •2.1 Метод прямокутників.
- •2.2 Метод трапецій
- •1.1.2 Метод Сімпсона (парабол)
- •1.1.3Метод Ньютона-Котеса.
- •2. Функції обчислення інтегралів у вигляді підпрограм.
- •Обчислення інтеграла за допомогою методу трапецій та парабол
- •Лекція 17. Системи диференціальних рівнянь.
- •Дифференціальні рівняння вищого порядку
- •Метод прогону.
- •Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).
- •Метод прогону.
- •Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).
Метод прогону.
Розділимо область інтегрування [a,b] на досить велике число рівних частин точками xi = x0 + ih, i = 1 … N... Перетворимо систему (1), (2) до виду
yi+1 + miyi + niyi-1 = h2f(xi); i = 1 … N-1, (3)
де ri = 1/(1 + h/2pi); pi = p(xi); qi = q(xi);
mi = ri(h2qi – 2); ni = ri(1 – h/2pi); ˆi = h2rif(xi). (4)
Розв’язавши рівняння (3) відносно уi, одержуємо
yi = ci(di - yi+1), i = N, N-1, … , 1; (5)
де ci = 1/(mi - nici-1), di = ˆi - nici-1di-1, i = 1 … N... (6)
c0 = 1/(0h - 1), d0 = h/1.
По формулах (6) обчислюються коефіцієнти ci, di – прямий хід прогону. По формулі (5) обчислюємо yi, i = N, N-1, … , 1 – зворотний хід прогону. При цьому з (3) і (4) знаходимо
y+1 = (Bh + 1cN-1d)/(0h + 1(c+1)).
Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).
Сутність проекційних методів обчислювальної математики полягає в представленні розв’язку задачі множиною проекцій (відліків) у визначеній системі координатних функцій.
У традиційному методі, запропонованому Б. П. Гальоркіним і розвинутому у роботах М. В. Келдиша, наближений розв’язок у(х) відшукується у вигляді
yn = a1u1(x) + a2u2 + ... + anun(x), (7)
де 1(x), 2, ,,, , n(x), – система базисних функцій, що задовольняють вихідним граничним умовам; a1, a2, ... , an – невідомі постійні коефіцієнти.
При підстановці (7) у (1) одержуємо функцію
R(x; a1; a2; ... ; an) = L[yn(x)] – f(x),
яку називають нев'язкою розв’язку. Очевидно, для точного розв’язку задачі
R(x; a1; a2; ... ; an) = 0.
Коефіцієнти аi визначимо з умови ортогональності нев'язки першим n функціям деякої системи функцій {i, i = 0 ... n}:
(8)
Такий метод розв’язку задачі називається методом моментів.
Якщо при цьому i=ui, то виходить метод Гальоркіна. Система рівнянь (8) являє собою систему лінійних рівнянь щодо вектора з матрицею
.
Розв’язок цієї системи є каркасом наближеного розв’язку крайової задачі.
Система (8) може бути представлена у вигляді
. (9)
Коефіцієнти cki, di, обчислюються по формулах
Для рівняння (1) L(y) = y - p(x)y - q(x)y.
Тому
cik = cki
Функцію u0(x) можна вибирати довільно, але так щоб u0(a)=A, u0(b)=B. Нехай u0(x) = + x. Тоді з (2) одержуємо:
Інші функції ui(x) можна обчислити по кожному з правил:
ui(x) = (x – a)i(x – b);
ui(x) = (x – a)(x – b)i.
ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ СХЕМИ
Метод прогону.
Вибираємо крок h; xi = x0 + ih, i = 1...N.
Обчислюємо
ri =1/(1 + h/2pi); mi =ri(h2qi – 2); ni =ri(1 – h/2pi); ˆi =h2rif(xi). i= 1...N.
Обчислюємо
c0 = 1/(0h - 1), d0 = hA/1; h 1/0.
ci = 1/(mi - nici-1), di = ˆi - nici-1di-1, i = 1 … N.
Обчислюємо
y+1 = (Bh + 1cN-1d)/(0h + 1(c+1));
yi = ci(di - yi+1), i = N, N-1, … , 1...
Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).
Задаємо степінь полінома m yn = a1u1(x) + a2u2 + ... + anun(x) .
Обчислюємо коефіцієнти і функції u0(x):
.
Вибираємо функції uk(x) = (x – a1)k(x – a2);
;
Обчислюємо
uk(x) ui(x) = (x-a1)k+i(x-a2)2; u0(x) ui(x) = i(x-a1)i-1(x-a2);
u0(x) ui(x) = (x-a1)I(x2 + ( - a1)x - a1); k,i = 1...m;
uk(x) ui(x) = (x-a1)k+i-2(e3x2 + e2x + e3).
e1 = (ka2 + a1)(ia2 + a1); e2 = -a1(2 + k + i); e3 =(k+1)(i+1).
Обчислюємо cki , di:
;l ;;;.
; ;;.
Розв’язуємо систему лінійних рівнянь
Знайдені значення ai підставляємо в ряд