- •Модуль 1 (Лекції №1-3) Розв’язання нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь Лекція 1
- •1. Методи розв’язання нелінійних рівнянь.
- •Одне рівняння
- •2. Теоретичні положення.
- •3. Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь
- •3.1 Метод половинного ділення.
- •Лекція 2
- •3.2 Метод пропорційних частин (хорд)
- •3.3 Метод Рибакова
- •Лекція 3
- •3.4 Метод Ньютона (дотичних)
- •3.5 Метод січних
- •Лекція 4-5. Початкова обробка даних
- •Лекція 6-7 Інтерполяція функцій Постановка задачі інтерполяції
- •Поліноміальна інтерполяція
- •Багатоінтервальна інтерполяція
- •Інтерполяція для випадку рівновіддалених вузлів
- •Інтерполяційні формули Ньютона
- •Інтерполяційні формули Гаусса
- •Перша інтерполяційна формула Гауса:
- •Друга інтерполяційна формула Гауса:
- •Інтерполяційна формула Стірлінга
- •Інтерполяційна формула Бесселя
- •Інтерполяція для випадку довільних вузлів. Інтерполяційна формула Лагранжа
- •Лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •Метод гауса.
- •Метод Рунге-Кута
- •Метод а.Н. Крилова послідовних наближень
- •Метод Адамса
- •2. Розробка програми
- •2.1 Обчислювальна схема методу Рунге-Кута:
- •2.2 Обчислювальна схема методу Адамса:
- •2.3 Обчислювальна схема методу Крилова:
- •2.4 Структура програми
- •2.5 Опис роботи програми
- •2.6 Опис інтерфейсу користувача
- •2.7 Приклад роботи програми
- •Список літератури:
- •Лекція 14-15.Чисельне інтегрування функцій
- •1. Вступ. Загальні відомості про чисельні інтегрування.
- •2. Огляд методів чисельного інтегрування.
- •2.1 Метод прямокутників.
- •2.2 Метод трапецій
- •1.1.2 Метод Сімпсона (парабол)
- •1.1.3Метод Ньютона-Котеса.
- •2. Функції обчислення інтегралів у вигляді підпрограм.
- •Обчислення інтеграла за допомогою методу трапецій та парабол
- •Лекція 17. Системи диференціальних рівнянь.
- •Дифференціальні рівняння вищого порядку
- •Метод прогону.
- •Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).
- •Метод прогону.
- •Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).
Перша інтерполяційна формула Гауса:
де m=2i-1, |
q=(x-x0)/h. |
Друга інтерполяційна формула Гауса:
Формули Гауса застосовуються для інтерполяції в середині таблиці поблизу x0. При цьому перша формула застосовується приx>x0(тобто вправо), а друга – приx<x0(вліво).
Інтерполяційна формула Стірлінга
Ця формула являє середнє арифметичне першої та другої формул Ньютона, і одночасно середнє арифметичне першої та другої формул Гаусса:
де m=2i-1, |
q=(x-x0)/h. |
Тут варто зауважити, що, коли вузлів непарна кількість, вони нумеровані як x-n, x-n+1, ..., x–2, x–1, x0, x1, x2, ..., x-n-1, x-n, а також що перший доданок під знаком суми містить , що приi=1 дає – пустий множник, у якого верхня межа менша за нижню, тобто він заміняється одиницею.
Формула застосовується для інтерполяції в середині таблиці при значеннях q, близьких до нуля. Практично її використовують при |q| 0.25.
Інтерполяційна формула Бесселя
, де m=2i-1, q=(x-x0)/h, нумерація x-n, x-n+1, ..., x–2, x–1, x0, x1, x2, ..., x-n-1, x-n.
Формула Бесселя використовується для інтерполяції в середині таблиці при значеннях q, близьких до 0.5. Практично вона використовується при 0.25q0.75. Найбільш простий вид має формула при q=0.25, тому що всі члени, що містять різниці непарного порядку, зникають. Формулу використовують для ущільнення таблиць, тобто для складання таблиць з дрібнішим кроком.
Інтерполяція для випадку довільних вузлів. Інтерполяційна формула Лагранжа
Нехай xi – довільні вузли (i=0, 1, 2, ..., n), а yi=f(xi) – відповідні значення функції. Багаточленом ступеня n, приймаючим в точках xi значення yi, є інтерполяційний поліном Лагранжа:
.
Зворотна інтерполяція – це процес знаходження значень x по заданим значенням y. Вона може здійснюватись по будь-якій програмі інтерполяції з довільно розташованими вузлами. При цьому просто замість значень xі вводять yі, а замість yі – значення xі.
Лекція 8-9. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ
Лінійних алгебраїчних рівнянь.
Розглянемо чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Ax=f (1)
де A - матриця m*m, x = ( x1, x2 , ... ,xm ) - шуканий вектор,
f =(f1, f2, ... , fm) -заданий вектор.
Припускаємо, що та визначник матриці А відмінний від нуля, так що існує єдиний розв’язок х. З курсу алгебри відомо,щосистему (1) можна розв’язати за формулами Крамера*. Для великих mцей спосіб практично нереалізований тому, що потребує порядку m!aрифметичних дій. Тому широко використовуються інші методи розв’язання, наприклад,метод Гаусса**, який потребує дій.
Методи чисельного розв’язання системи (1) поділяються на дві групи:
-прямі методи;
-ітераційні методи.
У прямих (або точних) методах розв’язок x системи (1) відшукується за скінченну кількість арифметичних дій.Внаслідок похибок заокруглення прямі методи насправді не приводять до точного розв’язку системи (1) і назвати їх точними можливо лише залишаючи осторонь похибки заокруглення.
Ітераційні методи (їх також називають методами послідовних наближень) полягають у тому, що розв’язок x системи (1) відшукується як границя при послідовних наближеньдеn- номер ітерації. Як правило, за скінченну кількість ітерацій ця границя не досягається.