2. Двойственная задача

Некое предприятие, использующее те же ресурсы что и предприятие из предыдущей задачи, желает приобрести все эти ресурсы. Оно желает приобрести их по ценам y₁, y₂ и y₃ соответственно за единицу каждого из трёх ресурсов. Величины у₁, у₂, у₃ принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Из условий предыдущей задачи нам известны затраты всех 3-х ресурсов для производства для каждого из 4-х видов продукции (A), количество ресурсов на производстве (B) и прибыль от единицы каждой продукции (C):

Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 4 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 2 единицы третьего. В ценах у₁, у₂, у₃ наши затраты составят 4у₁ + 4у₂ + 2у₃, т.е. столько заплатит предприятие за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 60. Следовательно, мы можем согласиться с предложением предприятия «КПО» только в том случае, если он заплатит не меньше 60 :

4у₁ + 4у₂ + 2у₃  60.

Соответственные условия должны выполняться и для продукции других видов, т.е.

2у₁ + 0у₂ + 4у₃  12,

4у₁ + 2у₂ + 3у₃  44,

1у₁ + 2у₂ + 0у₃  17.

Но при продаже требуется учитывать и интересы покупателя. Естественным желанием покупателя является снижение расходов. Так как предприятие желает закупить весь объём имеющихся ресурсов, то его затраты при ценах y₁, y₂ и y₃ составят , где коэффициенты приy₁, y₂ и y₃ - количество имеющихся ресурсов. Таким образом:

→min

Кроме того, так как цены не могут быть отрицательными, то .

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений х(х₁,х₂,х₃,x₄) и у(у₁,у₂,у₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

x₁ (4y₁ + 4y₂ + 2y₃ - 60) = 0 y₁ (4x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 1x₄ - 180) = 0

x ₂ (2y₁ + + 4y₃ - 12) = 0 y₂ (4x₁ + + 2x₃ + 2x₄ - 160) = 0

x ₃ (4y₁ + 2y₂ + 3y₃ - 44) = 0 y₃ (2x₁ + 4x₂ + 3x₃ - 109) = 0 .

x ₄ (1y₁ + 2y₂ - 17) = 0

Ранее (см. Задачу 1) было найдено, что в решении исходной задачи х₁>0 и х₃>0. Поэтому

4y₁ + 4y₂ + 2y₃ - 60 = 0

4y₁ + 2y₂ +3y₃ - 44 = 0

Учитывая, что 3-ой ресурс был избыточным, то, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка, получим систему:

4y₁ + 4y₂ - 60 = 0

4y₁ + 2y₂ - 44 = 0 откуда следует у₁ = 7, у₂ = 8.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов: у₁ = 7, у₂ = 8, у₃ = 0

причем общая оценка всех ресурсов равна 180*7+160*8+109*0=2540

Решение содержится в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи.

3. Задача о «расшивке узких мест производства»

При выполнении оптимальной производственной программ Первый и Второй ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”. Будем заказывать их дополнительно. Пусть T = (t₁, t₂, t₃) – вектор дополнительных объёмов ресурсов.

Итак, необходимо составить план “расшивки узких мест“ производства, то есть указать, сколько единиц каждого из дефицитных видов ресурсов должно быть приобретено, чтобы суммарный прирост прибыли был максимальным при условии, что для расчетов используются найденные двойственные оценки ресурсов.

Так как мы используем найденные оценки ресурсов, то должно выполняться условие:

H + Q^-1T ³ 0

Задача состоит в том, чтобы найти вектор Т(t₁; t_2; 0), максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 6t₁ + 3t₂ при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы).

Обращённый базис Q, соответствующий оптимальной производственной программе, содержатся в последней симплексной таблице в первой, второй, третьей строках восьмого, девятого и десятого столбцов:

Подставив соответствующие значения, получим требуемую математическую модель:

предполагая, что дополнительно можно надеяться получить не более 1/3 первоначального объёма ресурса каждого вида, то есть:

Перепишем неравенства в другом виде и получим:

Возьмём нужную нам часть графика в более крупном масштабе, учитывая, что по смыслу задачи t₁³0, t₂³0 :

Вточке А достигается максимальное значение функцииW. Найдём её координаты:

A(107/3;160/3)

W_max=107/3*7+160/3*8=676

Программа «расшивки» имеет вид t₁=107/3 t₂=160/3 t₃=0, и прирост прибыли составит 676

Сводка результатов:

Сj	60	12	44	17	b	X4+i	yi	t
ai,j	4	2	4	1	180	0	7	107/3
	4	0	2	2	160	0	8	160/3
	2	4	3	0	109	9	0	0
хj	35	0	10	0	2540
∆j	0	2	0	6