7. Матричная игра

Два игрока А и В играют в матричную игру. Дана платёжная матрица (А), отражающая выигрыш игрока А или проигрыш игрока В при использовании ими их стратегий.

Требуется найти решения игры для каждого игрока, а именно пару оптимальных стратегий, при которых каждому из игроков не выгодно отступать от них, поскольку это приведёт к их проигрышу.

Средний выигрыш первого (и средний проигрыш второго) игрока вычисляется по формуле: f(x;y) = ∑∑a_ijp_iq_j

Попытаемся упростить матрицу А, если это возможно, за счёт выявления дублирующих и доминирующих стратегий.

Исключим заведомо невыгодные стратегии, используя доминирование чистых стратегий.

Выясним, есть ли решении игры в чистых стратегиях (проверим на седловую точку).

A\B	B1	B2	B3	αi
A1	1	-4	3	-4
A2	-2	2	-3	-3
βj	1	2	3

α≠β, т.е. можно сделать вывод, что игры в чистых стратегиях нет.

Введём новые переменные: для игрока A P(p₁,p₂) , т.е. вероятности использования игроком А 1-ой стратегии, 2-ой стратегии соответственно, для игрока B Q(q₁,q₂,q₃) , т.е. вероятности использования игроком B 1-ой стратегии, 2-ой стратегии и 3-ей соответственно. Так же введем υ – цену игры.

Графическое решение этой игры показано на рисунке.

Из графика видно, что активными стратегиями 2го игрока являются q₁(1;-2) и q₂(-4;2)

A\B	B1	B2	αi
A1	1	-4	-4
A2	-2	2	-2
βj	1	2

Для первого игрока:

f(x;y) ~ M (p₁= 1;Q) = q₁- 4q₂= υ

f(x;y) ~ M (p₂= 1;Q) = -2q₁+ 2q₂= υ

q₁ + q₂ = 1

p₁ - 2p₂ = -4p₁ + 2p₂

p₁ + p₂ = 1

5p₁ - 4p₂ = 0

p₁ = (1 - p₂ )

9p₂= 5, p₂= 5/9

p₁= 4/9

f(x;y) ~ M (P; q₁= 1) = p₁- 2p₂= 4/9 - 2*5/9 = -6/9 = -2/3

Для второго игрока:

f(x;y) ~ M (p₁= 1;Q) = q₁- 2q₂= υ

f(x;y) ~ M (p₂= 1;Q) = -4q₁+ 2q₂= υ

q₁ + q₂ = 1

q₁ - 4q₂ = -2q₁ + 2q₂

p₁ + p₂ = 1

3 *(1 - q₂) - 6q₂ = 0

p₁ = (1 - p₂ )

9q₂ = -3, q₂ = 1/3

q₁ = 2/3

f(x;y) ~ M (p₁ = 1;Q) = q₁ - 4q₂ = 2/3 - 4*1/3 = 2/3 - 4/3 = -2/3

Таким образом, средний выигрыш первого (и средний проигрыш второго) игрока равен:

f(x;y) = ∑∑a_ijp_iq_j= 1*2/3*4/9 + 2*0*4/9 + (-4)*1/3*4/9 + 3*0*4/9 + (-2)*2/3*5/9 + 1*0*5/9 + 2*1/3*5/9 + (-3)*0*5/9 = -2/3

P= (4/9; 5/9)

Q = (2/3; 0; 1/3; 0) Оптимальные стратегии для игроков

υ = -2/3 Средний выигрыш 1го и средний проигрыш 2го игрока при использовании этих стратегий.

8. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20%-ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i = 2% годовых, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственноr₁= 4% иr₂= 9%, риски σ₁= 7%, σ₂= 10%, а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен ρ₁₂= 0,76.

Введем данные в рабочий лист Microsoft Excel, как показано на рис. 19.1.1, а. Пусть ячейки B9 и B10 соответствуют долям рисковых вложенийx₁иx₂, в ячейку B8, соответствующую доле безрисковых вложенийx0, введем формулу, соответствующую разности всех вложений (единицы) и вложений в акцииx₁иx₂, в ячейку B12 введем формулу для ожидаемой эффективности портфеляME_π, а в ячейку B13 введем формулу для дисперсии эффективности портфеляDE_π; учтем здесь, что σ₁₂= ρ₁₂σ₁σ₂(эти формулы приводятся справа от соответствующих ячеек).

Воспользуемся инструментом «Поиск решения». Для этого выберем в меню «Сервис» пункт «Сервис | Поиск решения…», и в появившемся окне (рис. 19.1.1, б) укажем, что мы хотим установить целевую ячейку $B$14 (в которой рассчитывается дисперсия портфеля) равной минимальному значению, изменяя ячейки $B$10:$B$11 (в которых находятся доли рисковых составляющих портфеля), причем в задаче присутствует ограничение $B$13 = $B$7.

а) ввод формул

б) окно «Поиск решения»

в) результаты

Рис. 19.1.1. Расчет оптимального портфеля

После нажатия на кнопку «Выполнить» в рабочем листе произойдут изменения: в ячейках B9, B10 и B11 появятся значения x^*₀=0,1188x ,x^*₁=-2,3663,x^*₂=3,2475, в ячейке B13 будет рассчитана ожидаемая эффективность портфеля (она равна требуемой эффективностиr*= 0,20 π , а в ячейке B14 появится рассчитанное значение дисперсии эффективности портфеляDEπ= 0,0511. При этом риск портфеля равен σ = .