- •Государственный Университет Управления
- •2005Г. Содержание курсовой работы
- •Задание на курсовую работу.
- •Графическое решение
- •2. Двойственная задача линейного программирования.
- •Задача о «расшивке узких мест».
- •3. Транспортная задача.
- •4. Задача на динамическое программирование.
- •5. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.
- •6. Матричная модель производственной программы
- •7. Анализ доходности и риска финансовых операций.
- •Литература:
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Государственный Университет Управления
Кафедра Прикладной математике
Курсовая работа
по дисциплине: «Прикладная математика»
Вариант №1
Выполнила _________________________________Аксенова Е.И.
Институт ______________________________________ ИУХМП
Специальность _______________________ Менеджмент организации
Специализация ________________________________________МБХТ
Отделение _____________________________вечернее отделение
Курс ____________________________________________ II
Группа _____________________________________________1
Руководитель _____________________________ Супоницкий В. Л.
Дата сдачи на проверку _____________________________________14.12.05г.
Дата защиты _____________________________________________
Оценка _____________________________________________
Подпись руководителя _____________________________________________
г. Москва
2005Г. Содержание курсовой работы
Задание на курсовую работу 3
1. Линейная задача производственного планирования 6
2. Двойственная задача линейного программирования 11
Задача о «расшивке узких мест» 12
3. Транспортная задача линейного программирования 15
4. Динамическое программирование 18
5. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества 21
6. Матричная модель производственной программы 24
7. Анализ доходности и рискованности финансовых операций 27
Литература 30
Задание на курсовую работу.
Сформулировать линейную производственную задачу и составить её математическую модель, имея следующие исходные данные:
Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить её методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать «узкие места» производства.
В последней симплексной таблице указать обращённый базис соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения.
Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.
Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчётных оценок ресурсов, и найти её решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежёсткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценку технологий.
Применить наёденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.
Сформулировать задачу о «расшивке узких мест производства» и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о «расшивке узких мест производства» при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объёма ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объёмов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.
Составить сводку результатов.
Составить математическую модель транспортной задачи по следующим данным:
Вектор объёма производства
Вектор объёма потребления
Матрица транспортных издержек:
Если полученная модель окажется открытой, то свести её к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.
Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., причем выделяемые суммы должны быть кратны 100 тыс. руб. по следующим исходным данным:
хj |
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
f1 |
0 |
20 |
44 |
55 |
63 |
67 |
70 |
70 |
f2 |
0 |
18 |
29 |
49 |
72 |
87 |
100 |
108 |
f3 |
0 |
25 |
41 |
52 |
74 |
82 |
88 |
90 |
f4 |
0 |
30 |
52 |
76 |
90 |
104 |
116 |
125 |
Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции по следующим исходным данным:
Найти графически решение игры. Указать, как проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.
Составить матричную модель производственной программы предприятия по следующим исходным данным:
структурная матрица производства А =
матрица коэффициентов прямых затрат (затраты на физический выпуск)
B =
матрица коэффициентов прямых затрат внешних ресурсов Y =
По данному вектору выпуска товарной продукции найти вектор производственной программы и полные затраты всех внешних ресурсов.
Провести анализ доходности и риска финансовых операций по следующим исходным данным:
Q1 |
0 |
2 |
4 |
8 |
|
Q2 |
2 |
4 |
6 |
18 |
1/2 |
1/4 |
1/8 |
1/8 |
|
1/2 |
1/4 |
1/8 |
1/8 | ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q3 |
0 |
4 |
6 |
12 |
|
Q4 |
2 |
6 |
8 |
14 |
1/4 |
1/4 |
1/3 |
1/6 |
|
1/4 |
1/4 |
1/3 |
1/6 |
Линейная производственная задача.
Предприятие может выпускать п видов продукции, используя т видов ресурсов. Пусть аij - расход; i-ого ресурса на единицу j-ой продукции, bi,- имеющееся количество i-го ресурса, сj - прибыль на единицу j-й продукции, хj - искомое количество единиц j-й продукции. Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу
X = (x1, x2, … xn) максимизирующую прибыль
(1)
при ограничениях по ресурсам
(2)
где по смыслу задачи xj 0.
Исходные данные задачи моего варианта представлены в виде:
45 |
60 |
21 |
14 |
|
3 |
6 |
3 |
0 |
180 |
6 |
2 |
0 |
6 |
210 |
2 |
3 |
5 |
7 |
112 |
т.е. матрица А удельных затрат ресурсов, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли имеют вид
А=В =С = (45 60 21 14)
Математическая же модель задачи: найти производственную программу (x1, x2, x3, x4), максимизирующую прибыль
P(x1, x2, x3, x4) = 45x1 + 60х2 + 21x3 + 14x4 max, (4)
при ограничениях по ресурсам
3x1 + 6х2 + 3x3 + 0x4 180
6x1 + 2х2 + 0x3 + 6x4 210 (5)
2x1 + 3х2 + 5x3 + 7x4 112
где по смыслу задачи x1 0, x2 0, x3 0, x4 0 (6)
Получили задачу линейного программирования. Чтобы решить ее, заменяем неравенства системы (5) уравнениями при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7, которые имеют экономический смысл остатков ресурсов. Эти переменные называются балансовыми. Получается каноническая задача ЛП максимизировать линейную форму (4) при условиях:
3x1 + 6х2 + 3x3 + 0x4 + х5 + 0х6 + 0х7 = 180
6x1 + 2х2 + 0x3 + 6x4 + 0х5 + х6 + 0х7 = 210 (7)
2x1 + 3х2 + 5x3 + 7x4 + 0х5 + 0х6 + х7 = 112
гдеx1 0,
x2 0,
x3 0,
x4 0,
x5 0,
x6 0,
x7 0.
Применим симплексный метод к решению этой задачи. Процесс решения приведен в таблице.
Б |
Б |
Н |
45 |
60 |
21 |
14 |
0 |
0 |
0 |
Примечания |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
Х6 |
Х7 | ||||
0 |
Х5 |
180 |
3 |
6 |
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
180 / 6 = 30 min |
0 |
Х6 |
210 |
6 |
2 |
0 |
6 |
0 |
1 |
0 |
210 / 2 = 105 |
0 |
Х7 |
112 |
2 |
3 |
5 |
7 |
0 |
0 |
1 |
112 / 3 ≈ 37,3 |
|
Z |
0 |
–45 |
–60 |
–21 |
–14 |
0 |
0 |
0 |
Z=Б∙H; ∆j=Б∙G-сj;min∆j=–60 |
60 |
Х2 |
30 |
1/2 |
1 |
1/2 |
0 |
1/6 |
0 |
0 |
30 / 1/2 = 60 |
0 |
Х6 |
150 |
5 |
0 |
–1 |
6 |
–1/3 |
1 |
0 |
150 / 5 = 30 min |
0 |
Х7 |
22 |
1/2 |
0 |
7/2 |
7 |
–1/2 |
0 |
1 |
22 / 1/2 = 44 |
|
Z |
1800 |
–15 |
0 |
9 |
–14 |
10 |
0 |
0 |
∆j= –15min |
60 |
Х2 |
15 |
0 |
1 |
3/5 |
–3/5 |
1/5 |
–1/10 |
0 |
|
45 |
Х1 |
30 |
1 |
0 |
–1/5 |
6/5 |
–1/15 |
1/5 |
0 |
|
0 |
Х7 |
7 |
0 |
0 |
18/5 |
32/5 |
–7/15 |
–1/10 |
1 |
|
|
Z |
2250 |
0 |
0 |
6 |
4 |
9 |
3 |
0 |
|
Если все оценочные коэффициенты (нижние строки каждой симплексной таблицы) неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны нулю, максимум целевой функции указан правее буквы Z. Если есть отрицательные оценочные коэффициенты, то находят самый малый из них (в первой таблице это -60). Если в столбце над ним нет положительных элементов, то задача не имеет решения. Если есть, то ищем минимальное отношение свободных членов к разрешающим элементам указанного столбца. В пересечении строки с минимальным показателем и столбца с минимальным оценочным коэффициентом получаем разрешающий элемент.
Так как все оценочные коэффициенты неотрицательны, то получено оптимальное решение: базисные переменные равны свободным членам, остальные равны нулю, максимум целевой функции указан правее буквы Z. Таким образом, имеем решение:
Производственная программа x1= 30, x2= 15, x7= 7, является оптимальной и обеспечивает предприятию наибольшую возможную прибыль Z = 2250. При этом первый и второй ресурсы будут использованы полностью х5 = 0, х6 = 0 (узкие места производства), а третий ресурс будет иметь остаток х7 = 7
0x1 + х2 + 3/5x3 – 3/5x4 + 1/5x5 – 1/10x6 + 0x7 = 15
x1 + 0х2 – 1/5x3 + 6/5x4 – 1/15x5 + 1/5x6 + 0x7 = 35
0x1 + 0х2 + 18/5x3 + 32/5x4 + 7/15x5 – 1/10x6+ x7 = 7
общее решение системы условий
x2 = 15 + 3/5x3 – 3/5x4 + 1/5x5 – 1/10x6
x1 = 35 – 1/5x3 + 6/5x4 – 1/15x5 + 1/5x6
x7 = 7 – 18/5x3 + 32/5x4 + 7/15x5 – 1/10x6
Z = 2250 + 6х3 + 4x4 + 15x5 + 3x6
Из этого выражения видно, что найденная производственная программа действительно является оптимальной, обеспечивает максимальную прибыль.
Проверим выполнение соотношения H=Q-1 В, где Q-1 базис в последней симплексной таблице, соответствующий набору базисных неизвестных.
Проверка: H=Q-1*B
|
1/5 |
–1/10 |
0 |
| ||||
Q-1= |
–1/15 |
1/5 |
0 |
| ||||
|
–7/15 |
–1/10 |
1 |
| ||||
|
|
| ||||||
|
|
1/5 |
–1/10 |
0 |
180 |
|
15 | |
H= |
Q-1*B= |
–1/15 |
1/5 |
0 |
* |
210 |
= |
30 |
|
|
–7/15 |
–1/10 |
1 |
|
112 |
|
7 |
1/5 *180–1/10*210+0*112 = 36–21 = 15
–1/15*180+1/5*210+0*112 = –12+42 = 30
–7/15*180–1/10*210+1*112 = –84–21+112 = 7
Вывод: при решении симплексной таблицы ошибок допущено не было.