2. Двойственная задача

Некий предприниматель, использующее те же ресурсы что и предприятие из предыдущей задачи, желает приобрести все эти ресурсы. Оно желает приобрести их по ценам y₁,y₂иy₃соответственно за единицу каждого из трёх ресурсов. Возникает вопрос: при каких ценахy₁,y₂,y₃ предприниматель может согласиться с предприятием из предыдущей задачи? Величиныy₁,y₂иy₃принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует предприятие. Из условий предыдущей задачи мне известны затраты всех 3-х ресурсов для производства для каждого из 4-х видов продукции, количество ресурсов на производстве и прибыль от единицы каждой продукции:

4 2 3 1 116

А= 2 0 3 2 В= 94 С=(48, 15, 11, 32)

4 1 0 5 196

Так как продажа ресурсов должна быть целесообразной, то прибыль от продажи единице каждого вида продукции должна быть меньше, чем прибыль от продажи ресурсов в количестве равном затрате этих ресурсов для производства единицы продукции каждого вида.

Для производства продукции 1-ого вида требуется 4 единицы 1-ого ресурса, 2 единицы 2-ого ресурса и 4 единицы 3-его ресурса, что соответствует элементам 1-ого столбца матрица А. Прибыль от продажи продукции 1-ого вида равна 48. Следовательно, для целесообразности продажи ресурсов прибыль от продажи 4-х единиц 1-ого ресурса, 2-х единиц 2-ого ресурса и 4-х единиц 3-его ресурса должна быть больше, либо равна 48, т.е. прибыли от продажи продукции 1-ого вида:

4у₁+2у₂+4у₃≥48

Соответственные условия должны выполняться и для продукции других видов. Им соответствуют 2-ой, 3-ий и 4-ый столбцы матрицы А, а также 2-ой, 3-ий и 4-ый элементы матрицы-строки прибыли С:

2у₁+0у₂+1у₃≥15

3у₁+3у₂+0у₃≥11

1у₁+2у₂+5у₃≥32

Я учту, что за все имеющие ресурсы предприятия предприниматель должен заплатить 116у₁+94у₂+196у₃ руб. При поставленных условиях предприниматель будет искать такие значения величинy₁,y₂иy₃, чтобы эта сумма была как можно меньше. Я замечу, что речь идет не о ценах, по которым предприятие когда-то приобретало эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых предприятием технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

У=(у₁, у₂, у₃)

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f=116у₁+94у₂+196у₃

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

4у₁+2у₂+4у₃≥48

2у₁ +у₃≥15

3у₁+3у₂ ≥11

у₁+2у₂+5у₃≥32

при этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у₁≥0, у₂≥0, у₃≥0

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений х(х₁,х₂,х₃) и у(у₁,у₂,у₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

х₁(4у₁+2у₂+4у₃-48)=0

х₂(2у₂+1у₃-15)=0

х₃(3у₁+3у₂-11)=0

х₄(1у₁+2у₂+5у₃-32)=0

и

у₁ (4 х₁ + 2 х₂ + 3 х₃ + 1 х₄- 116) = 0

у₂ (2 х₁ + 3 х₃ + 2 х₄- 94) = 0

у₃ (4 х₁ + 1 х₂ + 5 х₄- 196) = 0

Ранее (см. Задачу 1) было найдено, что в решении исходной задачи х₁>0 и х₄>0. Поэтому

4у₁+2у₂+4у₃-48=0

у₁+2у₂+5у₃-32=0

Учитывая, что 2-ой ресурс был избыточным, то, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка, получим систему:

4у₁+4у₃-48=0

у₁+5у₃-32=0

откуда следует

у₁ = 7,

у₃ = 5.

Таким образом, я получила двойственные оценки ресурсов:

у₁ = 7, у₂ = 0, у₃ = 5,

причем общая оценка всех ресурсов равна

f=116у₁+94у₂+196у₃

f=812+0+980=1792

Замечу, что это решение содержалось в последней строке симплексной таблицы исходной задачи.

Данные значения y₁,y₂иy₃являются двойственными оценками соответствующих ресурсов, т.е. оценка единицы 1-ого ресурса равна 7, оценка единицы 2-ого ресурса равна 0, а оценка 3-его ресурса равна 5. Эти оценки являются «теневыми» ценами ресурсов. Экономически они указывают, на сколько увеличится прибыль при выполнении оптимальной производственной программы, если количество соответствующего ресурса увеличить на единицу, при неизменном количестве остальных ресурсов.