Найду решение игры в смешанных стратегиях.

Пусть первый игрок использует свою первую стратегию с вероятностью х, а вторую – с вероятностью 1-х. Пусть второй игрок использует свою первую стратегию с вероятностью у, а вторую – 1-у.

Тогда выигрыш 1-го игрока при использовании 2-ым игроком своей 1-ой стратегии составит:

В₁:V₁(x) =2x–3(1-x)= 2x– 3+3x=5x-3

Выигрыш 1-го игрока при использовании 2-ым игроком своей 2-ой стратегии составит:

В₂:V₂(x) =-4х+2(1-х)=-4x+2-2х=2-6x

Нанесем полученные выигрыши на координатную плоскость XОV.

Н

V₁

V₂

ахожу нижнюю огибающую (границу выигрышей).

Нахожу точку с максимальной ординатой – Н(х*, V*)

5x–3=2-6x

11х=5

x*=5/11

V*= -4*5/11+2*6/11=-8/11

1-x*=1-5/11=6/11

X_opt={5/11; 6/11}

Оптимальная стратегия первого игрока х_opt={5/11, 6/11}

В

Н

ыигрыш 2-го игрока при использовании 1-м игроком своей 1-ой стратегии:

А₁:W₁(y) =2y–4(1–y)=2y-4+4y=6y-4

Выигрыш 2-го игрока при использовании 1-м игроком своей 2-ой стратегии:

А₂:W₂(y) = -3y+2 (1 –y) = -3y+2-2y=2-5y

Нахожу верхнюю огибающую (границу выигрышей).

Нахожу точку с минимальной ординатой – Н (у*, W*)

6y– 4 =2 – 5y

11y= 6

y* = 6/11

1-x*=1-6/11=5/11

W* = -8/11 = V*

Оптимальная стратегия второго игрока y_opt = {6/11, 5/11}

Н

Н

айду значение рисков игроков при использовании ими своих стратегий

Дисперсия выигрыша: D= - (V*)²

Игроки используют свои оптимальные стратегии

p₁=5/11p₂=6/11q₁=6/11q₂=5/11

=(2)²*5/11*6/11+(-3)²*6/11*6/11+(-4)²*5/11*5/11+(2)²*6/11*5/11-(-8/11)²=900/121

r_o^o= 2,73

Первый игрок использует свою оптимальную стратегию, а второй игрок – свою 1-ю чистую.

p₁=5/11p₂=6/11q₁= 1q₂= 0

=(2)²*5/11*1+(-3)²*6/11*1+(-4)²*5/11*0+(2)²*6/11*0-(-8/11)²=10/121

r0,29

Первый игрок использует свою оптимальную стратегию, а второй игрок – свою 2-ю чистую.

p₁=5/11p₂=6/11q₁= 0q₂= 1

=(2)²*5/11*0+(-3)²*6/11*0+(-4)²*5/11*1+(2)²*6/11*1-(-8/11)²=40/121

r0,57

Первый игрок использует свою 1-ю чистую стратегию, а второй игрок – свою оптимальную.

p₁= 1p₂= 0q₁=6/11q₂=5/11

=(2)²*1*6/11+(-3)²*0*6/11+(-4)²*1*5/11+(2)²*0*5/11-(-8/11)²=40/121

r0,57

Первый игрок использует свою 2-ю чистую стратегию, а второй игрок – свою оптимальную.

p₁= 0p₂= 1q₁=6/11q₂=5/11

= (2)²*0*6/11+(-3)²*1*6/11+(-4)²*0*5/11+(2)²*1*5/11-(-8/11)²=10/121

r0,29

Минимальный риск = 0,29.

Вывод:Для достижения минимального риска необходимо, чтобы игроки придерживались следующих стратегий:

а) Первый игрок должен использовать свою оптимальную стратегию, а второй игрок – свою 1-ю чистую. При этом первый находится в более выгодном положении, т.к. он получит максимально возможный выигрыш.

б) Первый игрок должен использовать свою 2-ю чистую стратегию, а второй игрок – свою оптимальную. При этом второй находится в более выгодном положении, т.к. он получит максимально возможный выигрыш.

Если игроки будут придерживаться этих стратегий, то цена игры составит–8/11.

7. Матричная модель производственной программы предприятия

Предприятие состоит из nцехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пустьj-й цех выпускаетx_jединиц продукции, из которыхy_jединиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.

Пусть a_jk– кол-во продукцииj-го цеха, расходуемое на производство единицы продукцииk-го цеха. Числаa_ijобразуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной. Производственная программа предприятия представляется векторомX(x₁, … ,x_n), а выпуск товарной продукции – вектором У(у₁, … , у_n). Очевидно,(Е - А)Х = УилиХ = (Е - А)^-1У.

Элементы любого столбца матрицы (Е - А)^-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.

При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.

Дополнив структурную матрицу А матрицей В коэффициентов прямых затрат, получаемых со стороны сырья, полуфабрикатов и т.п. Очевидно, затраты получаемых со стороны материалов определяются элементами матрицы S, гдеH *У = S, аH=В* (Е - А)^-1– матрица коэффициентов полных затрат сторонних материалов.

Зная закупочные цены сырья и рыночные цены готовой продукции, можно подсчитать прибыль.

Экономическая система из 4-х взаимосвязанных отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Продукция идет либо на экспорт, либо на внутреннее потребление.

Дана структурная матрица производства

0,2 0 0,4

А = 0,2 0 0,1

0,3 0,1 0,1

матрица коэффициентов прямых затрат

5 6 7

B = 4 0 2

30 20 18

0,1 0,3 0,1

вектор товарной продукции ( Y_i – конечный продукт идущий на экспорт)

40

Y= 80

50

i– номер отрасли.

Определить:матрицу коэффициентов постоянных затрат Q, вектор производственной программы X, матрицу Н коэффициентов полных затрат внешних ресурсов на единицу выпуска товарной продукции каждого вида и вектор S полных затрат всех видов ресурсов, необходимых на весь объём товарной продукции.

Спомощью преобразований Жордана - Гаусса я найду элементы обратной матрицы:

1 0 0 0,2 0 0,4 0,8 0 -0,4

Е - А = 0 1 0 - 0,2 0 0,1 = -0,2 1 -0,1

0 0 1 0,3 0,1 0,1 -0,3 -0,1 0,9

0.8	0	-0,4	1	0	0
-0,2	1	-0,1	0	1	0
-0,3	-0,1	0,9	0	0	1
1	0	-0,5	1,25	0	0
0	-1	0,2	-0,25	-1	0
0	0,1	-0,75	-0,375	0	-1
1	0	-0,5	1,25	0	0
0	1	-0,2	0,25	1	0
0	0	0,73	0,4	0,1	1
1	0	0	445/292	5/73	50/73
0	1	0	105/292	75/73	20/73
0	0	1	40/73	10/73	100/73

445/292 5/73 50/73

Q=(E - A)^-1 = 105/292 75/73 20/73

40/73 10/73 100/73

Вектор производственной программы найду так:

445/292 5/73 50/73 4 100 50/73

X = Q * Y = 105/292 75/73 20/73 * 80 = 110 20/73

40/73 10/73 100/73 50 101 27/73

X_i – валовый выпуск продукцииi- й отрасли.

Матрицу Н найду следующим образом:

5 6 7 445/292 5/73 50/73 3975/292 545/73 1070/73

Н = B*Q= 4 0 2 * 105/292 75/73 20/73 = 525/73 40/73 400/73

30 20 18 40/73 10/73 100/73 9165/146 1830/73 3700/73

0,1 0,3 0,1 23/73 24/73 21/73

Н_IJ– полные затратыi–го внешнего ресурса на единицу выпускаj–ой товарной продукции.

Элементы вектора Sвычислю так:

3975/292 545/73 1070/73 40 1874 48/73

S = H * Y = 525/73 40/73 400/73 * 80 = 605 35/73

9165/146 1830/73 3700/73 50 7050 50/73

23/73 24/73 21/73 53 21/73

S_i– полные затратыi–го вида ресурса на весь объём товарной продукции.