6. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

Пусть игроки – Первый и Второй , играют в матричную игру с матрицей A=a_{i j} . Пусть стратегия Первого естьР, а ВторогоQ.Тогда выигрыш Первого есть с.в.W(P,Q)cрядом распределения:

W(P*,j)	a1j		...		aij		...		amj
	p1*		...		pi*		...		pm*

Математическое ожидание этой с.в., т.е.есть средний выигрыш Первого. ПустьD[W(P,Q)]есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое

отклонение с.в. W(P,Q)т.е. риском для Первого при игре со стратегиямиP,Q.

Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то W(P,Q)есть случайный проигрыш Второго иrвполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

Предположу сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: – Первый игрок и– Второй.

Математическое ожидание с. в. называется ценой игры, обозначу ее.

Вычислю дисперсию выигрыша Первого при оптимальных стратегиях игроков.

.

Так как , а черезсумма обозначена.

Замечу, что в сумме можно оставить лишь те слагаемые, у которых

Замечу теперь, что если Первый играет со стратегией , а Второй отвечает-й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:

W(P*,j)	a1j		...		aij		...		amj
	p1*		...		pi*		...		pm*

Если есть оптимальная стратегия Первого, а, то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры, а дисперсия выигрыша Первого при этом равна, то есть равна. Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегияхи дисперсиюили величиныи. ПустьКак легко понять, если средиесть разные числа, то

Теперь можно сделать следующий вывод:

Чуть-чуть отойдя от своей оптимальной стратегии (смотрите ниже Задачу) и таким образом почти не уменьшив свой выигрыш, Первый может значительно уменьшить свой риск. При этом уменьшается и риск Второго, что отвечает и его интересам.

Чисто математически можно сказать, что в описанной ситуации риск выигрыша Первого не зависит от его стратегии непрерывно.

Рассмотрю подробно пример матричной игры с матрицейс матрицейa_{i j}. Как известно, общий случай в окрестности оптимальных стратегий игроков сводится к анализу такой игры.

-1 2 -4 1

2 -3 2 6

Верхняя цена игры

Нижняя цена игры

Т.к. , то седловой точки нет.

Стратегия В₂и В₃ доминирует стратегию В₁и В₄, следовательно исключаем стратегию В₁и В₄. Получаю новую матрицу 22.

2 -4

-3 2