- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
- •Програма курсу
- •Предмет диференціальної геометрії. Історичний огляд розвитку диференціальної геометрії
- •Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування
- •1.2. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.3. Границя вектор-функції
- •1.4. Неперервність вектор-функції
- •1.5. Похідна вектор-функції
- •1.6. Формула Тейлора
- •1.7. Інтеграл від вектор-функції
- •1.8. Вектор сталої довжини
- •Контрольні питання до теми 1
- •Тема 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •2.1. Поняття кривої
- •2.2. Способи аналітичного задання просторової кривої
- •2.3. Випадок плоскої кривої
- •Контрольні питання до теми 2
- •Перелічіть способи аналітичного задання просторової кривої. Запишіть відповідні рівняння. Які умови є достатніми для того, щоб ці рівняння визначали регулярну криву?
- •Тема 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •3.1. Дотична пряма просторової кривої
- •3.2. Нормальна площина просторової кривої
- •3.3. Дотична і нормаль плоскої кривої
- •3.4. Стична площина кривої
- •3.5. Супровідний тригранник кривої
- •Контрольні питання до теми 3
- •Тема 4. Поняття теорії кривих, пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •4.1. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація
- •4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.3. Кривина кривої в довільній параметризації
- •4.4. Кривина плоскої кривої
- •4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.6. Скрут кривої в довільній параметризації
- •4.7. Формули Френе
- •1. ; 2.; 3..
- •Контрольні питання до теми 4
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додаток 1 Питання для підготовки до вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»
- •Додаток 2
- •Завдання вхідного контролю з навчальної дисципліни
- •«Диференціальна геометрія та топологія»
- •Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Варіант 10
- •Додаток 3 Тестовий контроль з теорії кривих Тест 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Тест 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Тест 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Зоря Валентина Дмитрівна,
4.3. Кривина кривої в довільній параметризації
Нехай криву задано векторним рівнянням . Довжина дугиs є функцією параметра :, отжеє складеною функцією . Знайдемо другу похідну відпоs через похідні по t.
Для зручності домовимося похідні вектор-функції по натуральному параметру s позначати з крапкою (,і т.д.), а похідні подовільному параметру t – зі штрихом (,і т.д.).
; (14)
, звідки . (15)
З (14) маємо: , причому.
Враховуючи, що , одержимо.
Підставимо одержані вирази для ,,в (15):
.
Для обчислення кривини знайдемо.
Оскільки – одиничний вектор і його похіднаортогональна, томожна знайти як модуль векторного добутку:.
.
(16)
В скалярній формі маємо:
, де A, B, C – координати вектора , тобто
(16')
Задача. Знайти кривину гвинтової лінії
Розв’язання.
Отже ;;;
.
Таким чином, кривина гвинтової лінії є сталою величиною.
Відповідь: .
4.4. Кривина плоскої кривої
З формул (16) і (16') легко одержати формули для обчислення кривини плоскої кривої:
1) : ; . (17)
2) : . (17')
3) : вважаємо щоy є функцією від x, диференціюємо дане рівняння по x , звідки і ; далі знаходимо і підставляємо у формулу (17').
Для плоскої кривої можна визначити кривину зі знаком. |
4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації
Кривина кривої є кількісною мірою відхилення кривої від прямої, а саме: від дотичної прямої.
Скрут – це кількісна міра відхилення кривої від площини, а саме: від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.
Положення стичної площини визначається нормальним вектором бінормалі . Швидкість зміни положенняхарактеризує скрут кривої аналогічно до того, як швидкість зміни вектора дотичної характеризує кривину.
НехайP – довільна точка кривої ,Q – точка , близька доP. Очевидно, що величина двогранного кута між стичними площинами в точках P і Q дорівнює величині кута між бінормалями в цих точках.
Позначимо:
кут між бінормалями в точках P і Q;
s – довжина дуги PQ кривої .
Абсолютним скрутом в точціP називається границя відношення кута повороту бінормалі на дузі, що стягується до даної точки, до довжини цієї дуги, тобто . |
Теорема 9. Регулярна крива класу (тричі неперервно диференційовна) в кожній точці з відмінною від нуля кривиноюмає єдиний абсолютний скрут. Якщо– натуральна параметризація кривої, то абсолютний скрут дорівнює модулю похідної від одиничного вектора бінормалі поs : , (18) де – кривина кривої. |
□ Розглянемо властивостівектора :
1) (бо – одиничний вектор, отже,);
2) (оскільки , з першої формули Френе (13):і
); (19)
3) отже , тому . Візьмемо в цій рівності знак мінус: .
(третя формула Френе). (20)
Таким чином .
Знайдемо тепер .,або.
Враховуючи (19), (13) і розглядаючи кривину k як функцію s , маємо:
.
Отже, .■
4.6. Скрут кривої в довільній параметризації
Нехай . Будемо вважати, щоі. Як і в знаходженні кривини, похідні вектор-функції по натуральному параметруs будемо позначати з крапкою (,і т.д.), а похідні по довільному параметруt зі штрихом (,і т.д.).
Для натуральної параметризації маємо: .
Виразимо похідні ,,поs через похідні ,,по параметруt .
Раніше було показано, що ;.
Для знаходження використаємо отриману вище в пункті 4.3 формулу:. Тоді, звідки.
Нагадаємо, що для довільної параметризації ,,, тому.
Таким чином, – абсолютний скрут в довільній параметризації.
Скрутом кривої називається величина , яка обчислюється за формулою: . (21)
В скалярній формі: (21')
Зауваження. Плоскі криві – це криві нульового скруту.
Задача. Знайти скрут гвинтової лінії
Розв’язання.
.
.
Мішаний добуток обчислимо як скалярний добутокі:
.
Тоді .
Таким чином, скрут гвинтової лінії є сталою величиною. Якщо – «правогвинтова нарізка»; якщо– «лівогвинтова».
Відповідь: .