- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
- •Програма курсу
- •Предмет диференціальної геометрії. Історичний огляд розвитку диференціальної геометрії
- •Тема 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.1. Операції над сталими векторами та їх застосування
- •1.2. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1.3. Границя вектор-функції
- •1.4. Неперервність вектор-функції
- •1.5. Похідна вектор-функції
- •1.6. Формула Тейлора
- •1.7. Інтеграл від вектор-функції
- •1.8. Вектор сталої довжини
- •Контрольні питання до теми 1
- •Тема 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •2.1. Поняття кривої
- •2.2. Способи аналітичного задання просторової кривої
- •2.3. Випадок плоскої кривої
- •Контрольні питання до теми 2
- •Перелічіть способи аналітичного задання просторової кривої. Запишіть відповідні рівняння. Які умови є достатніми для того, щоб ці рівняння визначали регулярну криву?
- •Тема 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •3.1. Дотична пряма просторової кривої
- •3.2. Нормальна площина просторової кривої
- •3.3. Дотична і нормаль плоскої кривої
- •3.4. Стична площина кривої
- •3.5. Супровідний тригранник кривої
- •Контрольні питання до теми 3
- •Тема 4. Поняття теорії кривих, пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •4.1. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація
- •4.2. Кривина кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.3. Кривина кривої в довільній параметризації
- •4.4. Кривина плоскої кривої
- •4.5. Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації
- •4.6. Скрут кривої в довільній параметризації
- •4.7. Формули Френе
- •1. ; 2.; 3..
- •Контрольні питання до теми 4
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додаток 1 Питання для підготовки до вхідного контролю з навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія»
- •Додаток 2
- •Завдання вхідного контролю з навчальної дисципліни
- •«Диференціальна геометрія та топологія»
- •Варіант 1
- •Варіант 2
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •Варіант 5
- •Варіант 6
- •Варіант 7
- •Варіант 8
- •Варіант 9
- •Варіант 10
- •Додаток 3 Тестовий контроль з теорії кривих Тест 1. Вектор-функція скалярного аргументу
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Тест 2. Поняття кривої. Регулярна крива і способи її задання
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Тест 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих. Якщо правильних відповідей декілька, перелічити їх усі.
- •Пов’язані з поняттями кривини та скруту
- •1. Вказати правильні відповіді із запропонованих.
- •2. Вставити пропущені слова так, щоб одержалось правильне твердження.
- •Зоря Валентина Дмитрівна,
Дайте означення топологічного відображення. Поясніть зміст понять, які вживаються в цьому означенні.
Дайте означення елементарної кривої; регулярної кривої, гладкої, загальної кривої. Наведіть приклади.
Перелічіть способи аналітичного задання просторової кривої. Запишіть відповідні рівняння. Які умови є достатніми для того, щоб ці рівняння визначали регулярну криву?
Перелічіть способи аналітичного задання плоскої кривої. Запишіть відповідні рівняння. Які умови є достатніми для того, щоб ці рівняння визначали регулярну криву?
Тема 3. Дотична пряма і супровідний тригранник кривої
3.1. Дотична пряма просторової кривої
Дотичною прямою до кривої в її даній точці називається граничне положення січної, яка проходить через дану точку та іншу точку кривої, яка необмежено наближається вздовж кривої до даної точки. |
В диференціальній геометрії використовується ще одне означення дотичної до кривої, еквівалентне наведеному вище (рис.8).
Нехай – дана крива, ; l – пряма, .
Візьмемо точку і позначимо її відстані: d – відстань Q від (), h – відстань Q від l.
Якщо і – кут між прямимиl і , то – показник співпадання січної з l.
Граничне положення січної при є дотичною до в точці , при цьому .
Пряма l називається дотичною до кривої в точці , якщо . |
Теорема 5. Гладка крива, задана рівнянням ,, у кожній своїй точці має єдину дотичну, яка паралельна вектору . |
□1) Єдиність дотичної. Припустимо, що крива в точці має дотичну l.
Нехай – одиничний вектор дотичної в точці , точкам і Q кривої відповідають значення і:
, .
.
, де – площа паралелограма, побудованого на векторах і .
За означенням дотичної: . (5)
Потрібно перейти до границі при . Але у виразі длянемає. Поділимо чисельник і знаменник на:.
Звідси , оскільки.
Таким чином, якщо дотична l існує, то вона має напрям вектора . Точка і вектор визначають єдину дотичну.
2) Існування дотичної. Дотична визначається точкою і напрямним вектором. З попередніх записів видно, що таким вектором може бути одиничний вектор, колінеарний вектору . Справді, розглянемо векторі запишемодля прямої з таким напрямним вектором:
; .
Це і означає, що пряма, яка визначається точкою і напрямом , є дотичною. ■
Зауваження. Тепер зрозумілий зміст обмеження в означенні регулярної кривої. Це обмеження еквівалентне вимозі існування дотичної до кривої (напрям нульового вектора невизначений).
Знайдемо рівняння дотичної прямої для різних способів задання регулярної просторової кривої в точці .
а) Крива задана параметричним рівнянням у векторній формі: (рис. 10).
,
, ,
(6)
б) Крива задана параметричними рівняннями в скалярній формі
Позначимо координати точок і M: , та скористаємось пропорційністю відповідних координат колінеарних векторів:
()
в) Криву задано як перетин двох поверхонь:
де функції неперервні разом з їх частинними похідними в деякому околі точки.
Припустимо, що в точці кривоїранг матрицідорівнює 2. Це умова того, що в точці існує окіл, усі точки якого утворюють регулярну елементарну криву.
Нехай – регулярна параметризація цієї ж кривої в околі точки .
Підставивши ці функції в ліві частини рівнянь одержимо тотожності
Продиференціюємо ці рівності по t, застосовуючи правило диференціювання складеної функції від трьох змінних:
Ліві частини рівностей містять дві групи величин:
– похідні від координат в точці;
– частинні похідні від функцій, які визначають поверхні і обчислюються в точці .
Складемо матрицю з елементів другої групи: .
Оскільки її ранг дорівнює 2, то розв’язки однорідної системи можна подати через відношення визначників 2го порядку, складених з елементів матриці А:
.
Підставимо в рівняння (6') замість , , величини, їм пропорційні:
. (6")
Задача. Знайти рівняння дотичної в точці (a,0,0) до гвинтової лінії
Розв’язання. Даній точці відповідає значення t=0.
; ;.
У відповідності з (6') запишемо рівняння дотичної: .
Відповідь: .