1. Множества. Операции над множествами

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел

• Х={x₁,x₂,...,x_n} — множество некоторых элементов x₁,x₂,...,x_n

• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел

• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) граньюмножества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) граньюэтого множества.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В  А.

Пример 1

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

2. Способы задания множеств

Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: А = { 1, 2, a, x  } или B = { река Нил, город Москва, планета Уран}.

Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись A = { xP( x ) }, которую читают следующим образом: "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P( x )".

Например, B = { x   x- натуральное число, меньшее 10 }, при этом, очевидно, B = {  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  }.

Множество можно задать порождающей процедурой, например:

D = { z1  D,и если   z  D,то   z + 3  D},

E = { x   x = 3^k,    k  любое нартуральное число.}

Наряду с порождающей процедурой существует распознающая или разрешающая процедура, которая позволяет определить, принадлежит ли данный объект множеству или нет. Для множества D распознающая процедура заключается в том, что для любого натурального числа n будут проверять, является ли число 3 делителем числа n  1. Для множества E распознающая процедура заключается в разложении числа на простые множители.

3. Бинарные отношения

Бинарные отношения служат простым и удобным аппаратом для весьма широкого круга задач. Язык бинарных и n-арных отношений используется во многих прикладных (для математики) областях, например, таких как математическая лингвистика, математическая биология, математическая теория баз данных. Широкое использование языка бинарных отношений легко объясняется - геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов.

Введем необходимые определения.

Определение 1.1. Декартовым произведением множеств X и Y называется множество XxY всех упорядоченных пар (x, y) таких, что xX, yY.

Определение 1.2. Соответствием между множествами X и Y (или соответствием из X в Y) называется любое подмножество декартова произведения XxY. Если множества X и Y совпадают, то соответствие между множествами X и Y называют также бинарным отношением на множестве X.

Пример 1.1. Пусть X = {a, b, c, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Тогда множество кортежей ={(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} являются соответствием из X вY.

Отметим, что обычно соответствия задаются не путем указания подмножества  декартова произведения XxY, а путем указания свойства пар (x, y), принадлежащих этому подмножеству

. Например, отношение = {(4, 4), (3, 3), (2, 2), (4, 2)} на множестве X = {4, 3, 2} можно определить как свойство "Делится" на этом подмножестве целых чисел.

Хорошо известными примерами отношений из школьного курса математики являются:

• на множестве целых чисел Z отношения "делится", "делит", "равно", "больше", "меньше", "взаимно просты";

• на множестве прямых пространства отношения "параллельны", "взаимно перпендикулярны", "скрещиваются", "пересекаются", "совпадают";

• на множестве окружностей плоскости "пересекаются", "касаются", "концентричны".

Факт принадлежности кортежа (x, y) соответствию , часто обозначают с помощью так называемой инфиксной формы записи: xay. Типичными примерами таких записей из курса математики являются: x > y, a = b, 84, m||l, ab и т. п.

Отношения могут задаваться формулами:

• формулы

y = x² +5x - 6  или  

задают бинарные отношения на множестве действительных чисел;

• формула

x + y = любовь,

задает бинарное отношение на множестве людей. Этому отношению принадлежит любая пара людей, между которыми существует любовь.

Задание отношений в виде формул достаточно широко распространено. Об этом свидетельствуют многочисленные надписи на деревьях заборах или стенах домов типа:

"Вася + Таня = любовь",

увековечивающие принадлежность конкретной пары (Вася, Таня) отношению "любовь".

Рассмотрим еще три формы представления бинарных отношений: матричное представление и два графических представления. В качестве носителя отношения для иллюстрирующих примеров будем использовать множество X = {a, b, c, d, e}.

Вначале рассмотрим метод, восходящий к аналитической геометрии. Начертим пару взаимно перпендикулярных осей (OX - горизонтальная ось, а OY - вертикальная ось) и на каждой отметим точки, представляющие элементы множества X (рис. 1).

Рис. 1. Координатная сетка

Считая метки a, b, c, d, e координатами точек на горизонтальной и вертикальной осях, отметим на плоскости точки с координатами (x, y) такими, что (x, y)  . На рисунке 2 изображено множество точек, соответствующее отношению= {(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)}.

Рис. 2. Бинарное отношение 

Другой широко распространенный способ представления отношений основан на использовании ориентированных графов. При таком представлении элементы множества X изображаются вершинами графа (точками плоскости), а элементы (x, y) отношения  дугами (стрелками), соединяющими первую компоненту x отношения со второй компонентой y. Граф бинарного отношения  изображен на рисунке 3.

Рис. 3. Граф бинарного отношения

Для бинарных отношений, определенных на конечных множествах, часто используется матричный способ задания. Пусть на некотором конечном множестве X задано отношение a. Упорядочим каким-либо образом элементы множества X = {x₁, x₂, ..., x_n} и определим матрицу отношения A = [a_ij] следующим образом:

Таким образом, матрица отношения , представленного графом на рисунке 3, имеет вид

Часто матрицу отношения называют булевой, чтобы подчеркнуть, что ее элементами являются только нули и единицы.