- •Кратные интегралы Задачи, приводящие к двойным интегралам. Определение двойного интеграла
- •Свойства двойного интеграла
- •Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах
- •Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
- •Тройной интеграл
- •Криволинейные интегралы второго рода Задача о вычислении работы переменной силы. Определение криволинейного интеграла второго рода
- •Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме
- •Вычисление криволинейных интегралов второго рода
- •Формула Грина
- •Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •Литература
- •«Высшая математика»
Тройной интеграл
По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область и определенную в ней непрерывную функцию. Областьразобьем наэлементарных пространственных областей. Предполагается, что областьи элементарные областиимеют объемы, которые будем обозначать соответственно теми же символами. В каждой элементарной области() выберем произвольную точку, значение функции в этой точкеумножим на объем элементарной областии составим сумму всех таких произведений:
,
которая называется интегральной суммой данной функции по данному объему.
Обозначим через диаметр области. Пусть— наибольший из этих диаметров. И перейдем в последнем равенстве к пределу при.
Если предел интегральной суммы существует, то он и называется тройным интегралом от функции по пространственной области.
Итак, по определению
. (1)
Тройной интеграл от функции по пространственной областитакже обозначается следующим образом:
.
Отметим без доказательства, что если функция непрерывна в рассматриваемой замкнутой области, то предел в правой части формулы (1) существует и не зависит от способа разбиения областина элементарные и выбора точкив элементарной области.
Предположим, что в области распределено вещество, объемная плотность которого задана непрерывной функцией, тогда произведениевыражает приближенную массу элементарной области, интегральная сумма — приближенную массу всей области, а тройной интеграл — точное значение этой массы, т. е.
.
Данная формула выражает механический смысл тройного интеграла: тройной интеграл представляет массу, заполняющую область интегрирования .
Если в формуле , томы получаем формулу для вычисления объема с помощью тройного интеграла:
или
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двойного интеграла.
Перейдем к вопросу о вычислении тройного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Предположим, что область является стандартной в направлении оси, т. е. удовлетворяющей следующим условиям:
1) всякая прямая, параллельная этой оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках;
2) проекция областина плоскостьпредставляет собой стандартную область в направлении осиили оси.
Пусть стандартная область ограничена сверху поверхностью, снизу — поверхностью, тогда можно показать, что
.
Если область является стандартной в направлении осии определяется неравенствами,, то
.
Следовательно, в этом случае
.
Замечание.Если областьявляется стандартной в направлении осии определяется неравенствами,, то
.
Замечание.Если областьявляется стандартной в направлении каждой координатной оси и ее проекции на координатные плоскости являются стандартными в направлении каждой соответствующей оси, то пределы интегрирования в трехкратном интеграле можно расставить шестью различными способами.
Пример. Вычислить тройной интегралпо области, ограниченной поверхностями,,,,,.
Решение. Изобразим область.
Эта область является стандартной в направлении оси , а проекцияобластина плоскостьпредставляет собой стандартную область в направлении оси. Следовательно,
.
Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями,.
Решение.Уравнения поверхностей, ограничивающих тело имеют наиболее простой вид в цилиндрических координатах, связь которых с декартовыми осуществляется по формулам:
,,.
Первая поверхность являющаяся параболоидом вращения примет вид:
.
Уравнение плоскости в цилиндрических координатах останется без изменений.
Изобразим тело, объем которого необходимо найти, на рисунке.
Решая совместно уравнения и, получаем, что областьпроектируется в плоскостьв круг.
Следовательно,
.