Составление и решение дифференциальных уравнений на примерах задач физико-химическиго и медико-биологического содержания.

Общие замечания. Дифференциальные уравнения занимают важное место в решении задач физико-химического, фармацевтического и медико-биологического содержания. Пользуясь ими, мы устанавливаем связь между переменными величинами, характеризующими данный процесс или явление.

Решение любой задачи с помощью математического анализа можно разбить на три этапа:

1. перевод условий задачи на язык математики;

2. решение задачи;

3. оценка результатов.

Первая часть работы обычно заключается в составлении дифференциального уравнения и является наиболее трудной, так как общих методов составления дифференциальных уравнений нет и навыки в этой области могут быть приобретены лишь в результате изучения конкретных примеров.

Закон охлаждения тела. Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела и окружающей среды. Пусть тело нагрето до температуры Т_о, температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Т_с, Т_с < Т_о. В момент времени t температура тела равна Т. Скорость изменения температуры dT/dt пропорциональна разности Т – Т_с, то есть

dT/dt = - r(Т – Т_с).

Минус означает, что с возрастанием времени t температура Т тела уменьшается. Производная убывающей функции отрицательна, а скорость по смыслу – положительная величина. Коэффициент пропорциональности r зависит от физических свойств тела, так и от его геометрической формы.

Разделим переменные в уравнении и проинтегрируем его:

Подставив начальные условия t=0, Т=Т_о, найдем значение С и подставим в последнее уравнение:

Т₀=Т_с+Се^-r0; С=Т₀-Т_с;

Т=Т_с+(Т₀-Т_с)е^-rt.

Это закон охлаждения тела с течением времени.

10. Задание для самостоятельной работы студента:

Найдите частные решения дифференциальных уравнений:

1. ydy – xdx = dx, если y=0 при x=2;

2. 2xy = y, если y=6, при x=9;

3. (x+1)dy = ydx, , если y=8, при x=1.

Составив дифференциальные уравнения, решите задачи:

1. Найдите закон убывания лекарственного препарата в организме человека, если через 1 час после введения 10 мг препарата его масса уменьшилась вдвое. Какое количество препарата останется в организме через 2 часа?

2. В реакцию первого порядка вступает 1000 молекул, и за 1 секунду 500 из них распадается. Сколько молекул распадается за 2 секунды?

Литература

1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики - М.: «Вышэйшая школа», 1978. С255-297.

2. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. Пер. с англ. М.: «Мир», 1970.

3. Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина Л.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике – М.: «Высшая школа», 1987. С21-23.