- •2 Определители матриц
- •4 Координаты на прямой в плоскости и пространстве.Оси,направленные отрезки.
- •5 Векторы. Линейные операции над векторами, разложение вектора по базису
- •Линейные операции над векторами
- •Базис и разложение по базису
- •Обозначения
- •6 Скалярное,векторное и смешанное произведение векторов.
- •18 Основные правила нахождения производной
- •19 Применение производной к нахождению нибольших и наименьших значений функций на отрезке.
- •20 Функции 2 переменных. Частные производные. Перестановочность частных производных.Линии уровня.Градиент.
- •Способы задания функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Основные свойства непрерывных функций двух переменных
- •21 Пределы и непрерывность функций 2 переменных. Особые точки
- •Особые точки векторных полей на плоскости
- •22 Двойные интегралы. Мин и Макс значение функции 2 переменных в области
- •25 Разложение в степенные ряды основных элементарных функций.Формула Моавра.
- •26 Дифференциал функции.
- •27 Применение дифференциала
- •29 Таблица основных неопределённых интегралов.
- •35 Элементы комбинаторики-перестановки,размещения, сочетания
- •Размещения, перестановки, сочетания
- •Свойства чисел
- •Треугольник Паскаля
- •36 Понятие случайного события, вероятность события.
- •0 Ј p(a) ј 1
- •37 Основные правила нахождения вероятности события.38,39
- •40 Схема Бернулли. Формула Пуасова. Локальная и интегральные формулы Моавра-Лапласа
- •41 Функция распределения. Закон распределения.
- •42 Корреляция. Вычисление коэффицициентов корреляции.
18 Основные правила нахождения производной
19 Применение производной к нахождению нибольших и наименьших значений функций на отрезке.
Достаточное условие возрастания функции
Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.
Достаточное условие убывания функции.
Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция f(x) убывает на этом интервале.
Определение:
x0 называется критической точкой функции f(x), если
1) x0 – внутренняя точка области определения f(x) ;
2) f'(x0)=0 или f'(x0) не существует.
Необходимое условие экстремума:
Если x0– точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.
Достаточное условие экстремума:
Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак, то x0 – точка экстремума функции f(x).
Примеры экстремумов:
Схема исследования функции.
Найти область определения функции.
Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
Найти производную функции и ее критические точки.
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
Построить график функции, используя полученные результаты исследования.
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b].
Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;
Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;
Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
20 Функции 2 переменных. Частные производные. Перестановочность частных производных.Линии уровня.Градиент.
В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:
,
- работа тока на участке цепи и др.
Далее остановимся на случае функции 2 переменных.
Определение 25.1.
Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y , из некоторой области их изменений D, соответствует одно определенное значение величины z, то говорят, что z – есть функция двух независимых переменных x и y , определенная в области D (область определения функции).
Обозначение: z = f(x,y)=g(x,y)…
Способы задания функции
Табличный
S=S(x,y)
yx |
1 |
1.5 |
2 |
1 |
1 |
1.5 |
2 |
5 |
5 |
7.5 |
10 |
Аналитическое задание функции
.
Определение 25.2.
Областью определения функции z = f(x,y) называется множество {x,y}, для которых формула имеет смысл.
Пример 25.1.
Функция определена при.
Графическое задание функции.
Определение 25.3.
Пусть задана функция Графиком называется множество точек в пространстве , где-абсцисса,- ордината, а- аппликата, т.е. графиком являетсяповерхность.
Ранее изучали, что - верхняя часть сферы,
- параболоид, - плоскость.
Замечание 1. Любая поверхность в пространстве является графиком функции, если прямая, параллельная, пересекает ее в одной точке.
Предел функции двух переменных
Определение 25.4.
Множество точек , удовлетворяющих неравенству
называется -окрестностью точки.
Геометрический смысл
-окрестность точки - круг с центром в точкерадиуса.
Определение 25.5.
Функция имеет предел в точкеравный, т.е.
,
если она определена в некоторой окрестности точки , и для любого сколь угодно малогонайдется такое, что для всех точек, удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство
.
Замечание 2. Все правила нахождения пределов, сформулированные для функции одной переменной остаются в силе и для функции двух переменных.
Пример 25.2.
1) ,
2) .
Пусть
Определение 25.6.
Функция называетсябесконечно малой в точке
(или при ), если.
Если , то, где,
т.е. функция в окрестности точкиотличается от числана бесконечно малую функцию.
Замечание 3.
Сравнение бесконечно малых функций двух переменных производится также, как и бесконечно малых функций одной переменной, причем под символом будем понимать любую бесконечно малую в точкефункцию более высокого порядка малости, чем бесконечно малая в точкефункция, т.е..