25 Разложение в степенные ряды основных элементарных функций.Формула Моавра.

Из дифференциального исчисления известно, что если функция f(x) имеет в некоторой окрестности производные до порядка n включительно, то можно написать формулу Тейлора для этой функции. Положим при любом n = 1, 2,…

и Если

 (1.1)

то ряд

сходится и его суммой будет функция f(x).

Определение 1.1. Представление функции f(x) в виде ряда

(1.2)

называется разложением этой функции в ряд Тейлора.

Определение 1.2. Разложение функции f(x) в ряд Тейлора при x₀=0

(1.3)

называется разложением этой функции в ряд Маклорена.

Подчеркнем, что из сходимости ряда Тейлора для функции f(x) еще не следует его сходимость именно к этой функции, поэтому при разложении функции в ряд Тейлора следует проверять соблюдение условия (1.1).

Теорема 1.1. Пусть

(1.4) где стоящий справа ряд сходится в некотором отрезке к функцииf(x). Тогда этот ряд является рядом Тейлора, то есть

 (1.5)

Доказательство. Применим к равенству (1.4) п раз теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Тогда получим

 

Если в этом тождестве положить x=x₀ , то все слагаемые справа, кроме первого, обратятся в нуль и получим откуда и следует (1.5). Теорема доказана.

2. Разложение основных элементарных функций.

Теорема 2.1. Если функция f(x) определена и  имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует  постоянная, такая, что при лю­бых х и п удовлетворяет неравенству  то функция f(x) разлагается в ряд Тейлора (1.2) при любом x₀.

Приведем без доказательства следующие разложения элементарных функций в ряд Маклорена

 

 

 

это разложение имеет место при любом натуральном значении и любом значенииx, если число не является натуральным, то данное равенство справедливо лишь при –1<x<1;

 

 

 

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества дляэкспонент , гдеb — целое число.^[1]

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

где k = 0, 1, …, n—1.

Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в нуле.

26 Дифференциал функции.

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестностифункция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x₀ + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить:

Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точкеи обозначают df. Для функции x производная в каждой точкеравна 1, то естьПоэтому пишут:

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.