Konspekt_lekcij_zaoch

В общем виде приведенный момент инерции и приведенная масса определяются зависимостями

J	пр	= (å J	ω 2	+ å m	V 2 ) /ω 2	,	(4.7)
		Si	i	I	Si пр
mпр = (å JSiωi2				+ å mIVSi2 ) /Vпр2 .			(4.8)

4.4. Определение закона движения звена приведения

Запишем выражение для кинетической энергии механизма, используя динамическую модель:

			ω =		2E		,	(4.9)
					Jпр
	J	ω 2
откуда E =		пр	.					(4.10)
		2

Угловую скорость звена приведения можно определить, если известно отношение Е/Jnp. Эту задачу можно решить графически, построив график Е = Е(Jnp ) - диаграмму энергомасс (рис. 4.4).

Рис. 4.4

51

Кривая энергомасс, соответствующая времени разбега, имеет восходящий характер, а на выбеге - нисходящий. На участке установившегося движения, соответствующем одному циклу, кривая имеет замкнутый характер и повторяется столько раз, сколько будет циклов за время установившегося движения.

На основании (4.10) запишем значение угловой скорости для некоторого положения К:

							.
ω = 2		yμE	= 2tgψ			μE		(4.11)
		xμJ			K μJ

Максимальное и минимальное значения угловой скорости в режиме установившегося движения соответственно будут равны:

ω			=	2tgψ			μE	,		(4.12)
	max				max μJ
ω			=	2tgψ			μE		.	(4.13)
		min				min μJ

На рис. 4.5 показан график ω = ω(t) для режима установившегося движения.

Изменение		угловой	скорости
характеризуется		коэффициентом
неравномерности движения механизма.
	Коэффициент		нерав-
	номерности движения механизма -
	отношение	амплитуды	колебания
	угловой скорости начального звена
	к ее среднему значению за один
	цикл установившегося		движения
Рис. 4.5	механизма, то есть
δ =	ωmax −ωmin .		(4.14)
	ωср

52

Причины непостоянства угловой скорости начального звена:

1)неравенство друг другу работы движущих сил и работы сил сопротивления внутри цикла вследствие того, что приведенные моменты сил движущих и сил сопротивления изменяются по разным законам;

2)непостоянство приведенного момента инерции механизма вследствие изменения в течение цикла скоростей центров масс звеньев и их угловых скоростей.

Для нормальной работы машины необходимо, чтобы коэффициент неравномерности движения δ не превышал допустимого значения. Ниже

приведены допустимые коэффициенты неравномерности движения для некоторых типов машин:

насосы - δ = 0,03 ... 0,2;

металлообрабатывающие станки - δ = 0,02... 0,05; двигатели внутреннего сгорания - δ = 0,005... 0,015;

прессы - δ = 0,1 ... 0,15.

При проектировании механизма часто возникает необходимость уменьшения коэффициента δ . Эту задачу можно решить постановкой маховика.

Маховик - дополнительное тело вращения, предназначенное для обеспечения заданного коэффициента неравномерности движения механизма.

На рис. 4.4 штриховыми линиями показаны касательные к кривой энергомасс после постановки маховика. Разность между углами ψ max и

ψ min уменьшается. Следовательно, уменьшается и амплитуда изменений угловой скорости (ωmax -ωmin ) . Момент инерции маховика JM = xM × μ j , кинетическая энергия маховика EM = yM ×μ E .

4.5. Расчет маховика

Как указывалось выше, подбором массы и момента инерции маховика можно заставить начальное звено механизма двигаться с заданным отклонением от некоторой его средней скорости.

Маховик является как бы аккумулятором кинетической инерции механизма, накапливая ее во время ускоренного движения и отдавая обратно при замедленном движении.

Существуют различные методы определения момента инерции маховика - как приближенные, так и точные.

53

Рассмотрим один из наиболее распространенных точных методов, основанный на построении кривой энергомасс.

Для построения кривой энергомасс необходимо выполнить следующие расчеты и построения.

I) Все силы, действующие на звенья механизма, привести к начальному звену (звену приведения) в виде Mпр по (4.3) и построить

график M пр = M пр (ψ1) , приняв масштабные коэффициенты μM и

μψ (рис. 4.6, а).

Рис. 4.6

54

2) Методом графического интегрирования кривой приведенного мо-

мента сил получить избыточную работу	A = ΣA.	На основании теоремы
об изменении кинетической энергии	A = ΣA,	поэтому полученный
график является также графиком изменения		кинетической энергии

(рис. 4.6, б). Графическое интегрирование обратно графическому дифференцированию, рассмотренному в 2.2 и на рис. 2.2. Масштабный коэффициент для избыточной работы и приращения кинетической энергии будет μ А = μM ×μϕ × H , где H - полюсное расстояние при

интегрировании, принятое произвольно.

3) Массы звеньев и их моменты инерции привести к начальному звену в виде Jпр (4.7) и построить график Jпр = Jпр (ψ1) , приняв масштабные

коэффициенты μ J и μψ (рис. 4.6, в). Такое расположение графика принято для удобства построения кривой энергомасс.

4)Построить кривую энергомасс, исключая графически параметр

ψ1 из графиков DE = DE(ψ1) и Jпр = Jпр (ψ1) (рис. 4.6, г).

5)К полученной кривой провести две касательные под углами ψ max

иψ min , которые согласно (4.12) и (4.13) соответствуют угловым скоростям ω1max и ω 1min , обеспечивающим требуемый коэффициент неравно-

мерности движения δ . Найдем зависимость углов ψ max и ψ min от δ . Решая совместно выражения

ω

1ср

=

ω1max +ω1min

и δ =

ω1max

-ω1min

,

получим

2

ω ср

ω

= ω

æ

+

δ ö

; ω

= ω

æ

-

δ ö

(4.15)

ç1

÷

ç1

÷.

1max

1ср è

2 ø

1max

1ср è

2 ø

Возведем в квадрат левые и правые части (4.I5):

ω

2

= ω

2

æ

+

δ ö2

; ω

2

= ω

2

æ

-

δ ö

2

(4.16)

ç1

2

÷

ç1

2

÷ .

1max

1ср è

ø

1max

1ср è

ø

Возведем в квадрат левые и правые части (4.12) и (4.I3):

ω 2	= 2tgψ		μE	;	ω 2	= 2tgψ		μE	.	(4.17)
1max		max μJ			1min		min μJ

55

Подставив в (4.16) выражения (4.17), получим

μ

E

æ

δ ö2

μ

E

æ

δ

ö2

2

tgψ max

= ω 21ср ç1 +

÷ ;

2

tgψ min

= ω 21ср ç1

-

2

÷ .

(4.18)

μJ

è

2 ø

μJ

è

ø

откуда

μ

J

æ

δ

ö2

μ

J

æ

δ

ö2

tgψ max =

ω 21ср ç1+

÷

; tgψ min =

ω 2

1ср ç1

-

÷ .

(4.19)

2μE

2

2

è

ø

2μE

è

ø

Проводим касательные к кривой DE = DE(Jпр )

и находим их точку

пересечения 0

(рис.

4.6, г).

Требуемый момент

инерции

маховика

JM = cμJ .

При малых значениях коэффициента 0

разность между углами

ψ max и

ψ min

незначительна

и

точка

пересечения

касательных

часто

находится за пределами чертежа. В этом случае удобно выразить момент инерции маховика через отрезок ab :

JM	=	abμE	.	(4.20)
		ω12срδ

5. УРАВНОВЕШИВНИЕ МАСС

5.1. Общие сведения об уравновешивании

Из года в год растут рабочие скорости машин. В настоящее время применяются электродвигатели с числом оборотов 12 000 об/мин, двигатели внутреннего сгорания - 5 000 об/мин, центрифуги - 40 000 об/мин. С увеличением скорости растет производительность машин. Однако вместе с тем растут и ускорения, а, следовательно, и силы инерции, которые могут превосходить силы веса в сотни тысяч раз.

Силы инерции вызывают дополнительные динамические нагрузки в кинематических парах, увеличение сил трения, вибрации в звеньях и фундаменте, а при резонансе могут привести к поломке.

56

Поэтому при проектировании ставится задача рационального подбора таких масс звеньев механизма, которые бы обеспечили полное или частичное устранение указанных динамических нагрузок. Эта задача носит название "Уравновешивание масс механизма" или "Уравновешивание сил инерции звеньев механизма" и делится на две самостоятельные задачи:

1)уравновешивание вращающихся масс;

2)уравновешивание динамических нагрузок на фундамент механизма.

5.2.Уравновешивание вращающихся масс

Любое вращающееся тело, соединенное кинематическими парами со стойкой, называется ротором. Даже симметричный по конструкции ротор может быть неуравновешен вследствие неоднородности материала, неточности изготовления, погрешностей монтажа.

Выделим три случая неуравновешенности ротора (рис. 5.1).

1) Статически неуравновешенный ротор - ротор, у которого главный вектор сил инерции не равен нулю, а главный момент сил инерции равен

нулю ( Fи ¹ 0, Mи = 0 ). В этом случае главная центральная ось инерции

параллельна оси вращения ротора (рис. 5.1, а).

2) Моментно неуравновешенный ротор - ротор, у которого главный вектор сил инерции равен нулю, а главный момент сил инерции не равен

нулю ( Fи = 0, Mи ¹ 0 ). В этом случае главная центральная ось инерции и ось вращения ротора пересекаются в центре масс (рис. 5.1, б).

Рис. 5.1

57

3) Динамически неуравновешенный ротор - ротор, у которого и главный вектор, и главный момент сил инерции не равны нулю

( Fи ¹ 0, Mи ¹ 0 ). В этом случае главная центральная ось инерции и ось

вращения ротора пересекаются вне центра масс или скрещиваются

(рис. 5.1, в).

5.2.1. статическое уравновешивание ротора

Пусть масса m вращается с угловой скоростью ω вокруг оси А (рис. 5.2). В этом случае возникает сила инерции

F u = -maB = -mω 2r ,

вызывающая переменное нагружение опоры А. Установим противовес mn , который приведет к возникновению силы инерции Fип , равной по

величине, но противоположно направленной к силе инерции Fи , т.е.

å F ui = 0 , F u + F un = 0 , mω 2r + mnω 2rn = 0 .

	После преобразования получаем
	mr		+ mnrn = 0
Рис. 5.2	Зная произведение mпrп , зададимся массой и							определим
	радиус или наоборот.
В общем случае условие статического уравновешивания можно
записать как			n
			å mi			= 0.		(5.1)
				ri

i

Произведение mr называется дисбалансом.

Рассмотрим статическое уравновешивание нескольких масс

(рис. 5.3, а).

58

Рис. 5.3

Для того, чтобы центр масс совместить с точкой А, необходимо, чтобы выполнялось условие

n			n
å F ui = 0 или			å mi	ri	= 0;Þ m1	r1	+ m2	r2	+ m3	r3 + mnrn = 0 .
i			i

Задаваясь масштабным коэффициентом, строим векторный многоугольник дисбалансов (рис. 5.3, б) и получаем дисбаланс противовеса mпrп , и его направление. Задаваясь массой, определим

радиус или наоборот. Вместо постановки противовеса можно убрать массу с противоположной стороны, равную mп на расстоянии rп .

5.2.2. Моментное уравновешивание ротора

На рис. 5.4 показаны две вращающиеся в параллельных плоскостях массы m1 , и m2 дисбалансы которых равны по величине, но противоположно

направлены, т.е. m1r1 + m2r2 = 0, Fu1 = F u2 .

Следовательно, центр масс лежит на оси вращения. Этот ротор статически уравновешен, но не уравновешен моментно. Выберем плоскости I и II, в которых установим противовесы. Составим сумму динамических дисбалансов относительно плоскости I:

n
åmi	rili = 0; mnII	r	nII lnII - m2	r2l2	+ mI	rI l I = 0.
i

59

Отсюда находим mпI rпI l и, зная l ,

вычисляем mпII rпII . Теперь, задаваясь mпII , определим rпII .

Аналогично можно найти mпI и rпI .

Если задано несколько масс, создающих моменты в разных плос-

костях,	то		для		моментного
уравновешивания					необходимо
выполнить условие
	n
	åmi	ri	li	= 0 .	(5.2)

Рис. 5.4	i

5.2.3Динамическое уравновешивание ротора

Вкачестве примера рассмотрим вращающееся звено, состоящее из. трех масс, расположенных в разных плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и общий центр масс их не лежит на оси вращения, то есть

n			n
å F ui ¹ 0;			åM ui ¹ 0. (рис. 5.5, а)
i			i

Для динамического уравновешивания этого ротора необходимо выполнить условия (5.1) и (5.2), т.е.

n			n
åmi		= 0 и	åmi	rili = 0.
	ri
i			i

Для постановки противовесов выберем плоскости I и II. Запишем условие (5.2) относительно плоскости I:

m1r1l1 + m2r2l2 + m3r3l3 + mnII rnII l = 0.

Векторы моментов повернем на 90° и будем направлять вдоль радиусов. Построим многоугольник моментов дисбалансов и определим

mnII rnII l , а затем mnII rnII (рис. 5.5, б).

60