26. У шкільному курсі математики вивчають такі тотожності, як формули скороченого множення. Стверджується, що кожну з цих тотожностей можна використати подвійно. В чому сенс цього твердження.

У 7 класі учні вивчають тотожні перетворення виразів такі як формули скороченого множення.

Формули скороченого множення застосовуються для тотожних перетворень, зокрема для розкладу многочленів на множники, для спрощення виразів,  швидкого множення многочленів та для зведення многочленів до стандартного вигляду. Всі формули скороченого множення доводяться безпосередньо розкриттям дужок і зведенням подібних доданків. 

Основними формулами якими учні повинні володіти такі:

Формули для квадратів

(a + b)² = a² + 2ab + b²– квадрат суми

(a + b)² = a² + 2ab + b²– квадрат різниці

a² – b² = (a – b)(a +b) – різниця квадратів

Формули для кубів

(a +b)³ =a³ +3a²b+ 3ab² +b³– куб суми

(a –b)³ =a³ – 3a²b + 3ab² –b³ - куб різниці

a³ +b³ = (a+b)(a² –ab +b²) - сума кубів

a³ –b³ = (a –b)(a² +ab +b²) – різниця кубів

Відмітимо, що всі ці формули – тотожності: вони правильні для будь-яких значень.

Кожну з цих тотожностей можна використати подвійно, оскільки ліву частину ми можемо звести до правої, а праву до лівої.

Наприклад: Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на суму цих виразів.

а² - b² = (а + b)(а – b).

І навпаки добуток різниці двох виразів на суму цих виразів дорівнює різниці квадратів цих виразів:

 (а + b)(а – b) = а² - b²

26. Учень сказав: «За означенням степеню з нульовим показником вираз (т2-п2)0 дорівнює одиниці при будь-яких значеннях змінних.» Які у Вас зауваження до цієї відповіді учня?

Учень добре все сказав. В математиці є місце такому означенню про степінь з нульовим показником, але учневі варто було уточнити, що m ≠n≠0, бо ми знаєм, що степінь з цілим показником включає в себе три види степеня: *з цілим від*ємним показником; *з цілим додатнім показником:

*і степінь з нульовим показником (випливає з властивості):

  то в нашому випадку вираз в дужках не може дорівнювати нулю.

26. Розв'язуючи задачу, учні склали рівняння Якщо не розв’язувати стандартно, то х можна визначити легко. Вкажіть, який це спосіб.

39. Обчислити та пояснити учням порядок дій і роль дужок: ; ; ; ; ; .

40. У зв'язку з інтерпретацією натуральних чисел точкою на координатному промені з'явилося два висловлення: Кожному натуральному числу відповідає точка на координатному промені. Кожній точці координатного променю відповідає натуральне число. Які з трьох наступних відповідей правильні: обидва висловлення істинні; одне з них хибне; обидва висловлення хибні.

Варіант відповіді: одне з них хибне

Кожному натуральному числу відповідає точка на координатному промені,а не навпаки. Продемонструємо це на прикладі:

Накреслимо промінь ОХ. Біля початку О променя запишемо число 0 (нуль).

Візьмемо довільний відрізок АВ. Приймемо його довжину за одиницю. Цей відрізок назвемо одиничним. Відкладемо на промені від його початку відрізок, що дорівнює одиничному. Отримаємо точку, яку позначимо буквою D. Біля цієї точки запишемо число 1. Скажемо, що точка D відповідає числу 1 і навпаки — числу 1 відповідає точка D. Відкладемо від точки О два одиничні відрізки (або один від точки D). Одержимо точку С, якій відповідає число 2. Відкладемо від початку променя три одиничні відрізки (або один від точки С). Одержимо точку Е, якій відповідає число 3. Цей процес можна продовжити. При цьому будь-якому натуральному числу відповідатиме одна певна точка променя ОХ. Назвемо цей промінь координатним