8 / розв8_3

Задача 3. 8 клас.

Дві вертикальні стіни сходяться під кутом 60º і утворюють ущелину. Турист поставив палатку на однаковій відстані 200 м від обох стін. Тихою морозною ніччю він вийшов з палатки і заблукав. Коли надія знайти палатку була майже втрачена, турист зупинився і крикнув. Перше відлуння він почув через 3/4 с, друге – через 5/4 с. Через який час він почує інші відлуння і скільки їх буде? Підкажіть туристу, що слід робити, щоб повернутися до палатки і скільки кроків відділяє його від неї? Скористайтеся формулою для визначення швидкість звуку у повітрі , де – температура в Кельвинах, – швидкість звуку в м/с. Температура повітря , довжина кроку туриста 50 см.

Розв’язання. Якщо перше відлуння турист почув через , відстань, яку пройшов звук до ближчої стіни ущелини і повернувся назад, дорівнює . Отже відстань від туриста до цієї стіни ущелини . Аналогічно, відстань до другої стіни ущелини . Щоб знайти, скільки всього було відлунь і через який час вони надійшли, скористаємось методом дзеркальних відображень (див. рис.).

Ми бачимо шестикутник з вершинами у місцях, де знаходиться турист та п’ять його зображень. Складається враження, що турист має почути п’ять відлунь, але, оскільки дві відстані (позначені ) є однаковими, через час два відлуння (кожне після двох відбиттів) прозвучать одночасно. Останнє відлуння прозвучить через час . Знайдемо відстані та . Відстань знаходиться швидко, оскільки вона є основою рівнораменної трапеції з кутами 60º і 120º: . Відстань можна знайти, якщо опустити з точки третього зображення перпендикуляр на та визначити катети утвореного прямокутного трикутника (і ), і далі знайти , як гіпотенузу за теоремою Піфагора

Отже, , , .

Оскільки відстань до другої стіни виявилась 200 м, тобто, такою ж, як і відстань до цієї стіни від палатки, туристу слід рухатись перпендикулярно до напряму, звідки надійшло друге відлуння (паралельно до другої стіни), залишаючи за спиною звуки третіх і четвертого відлунь. Протягом його руху час , через який надходить друге відлуння, має залишатися незмінним, а час надходження першого відлуння буде збільшуватись. Коли час зрівняється з слід шукати палатку.

Кількість кроків легко знаходиться з прямокутного трикутника з кутами 30º і 60º. Маємо 185 кроків.