5.3. Введение в математическое моделирование.

Математическая модель – это приближенное описание какого либо процесса или явления с помощью математических формул. В реальном мире любые процессы или явления бесконечно сложны для понимания. Чтобы описать любой объект, явление или процесс необходимо выявить определяющие его свойства, внутренние связи и закономерности. Роль определяющих характеристик на протекание процесса, поведение объекта или явления. Определить необходимую и достаточную степень точности, необходимую для решения конкретной задачи.

Рассмотрим простую задачу: определение скорости предмета падающего на землю. Что в данном случае является определяющими характеристиками? Еще из школьного курса физики мы помним, что скорость определяется высотой с которой падает предмет и ускорением свободного падения, однако это определение справедливо только для падения в безвоздушном пространстве или при небольших высотах, когда сила трения о воздух имеет очень маленькое значение. В данном случае при построении математической модели (математическом описании процесса) следует учитывать множество исходных данных. Если исходные данные и точность вычисления допускают пренебрежение сопротивлением воздуха то его учитывать нет необходимости, если же нет, то следует учесть при построении модели то, что воздух будет уменьшать скорость падения.

При математическом моделировании изучаемый объект, явление или процесс переводиться на язык математических формул, систем уравнений и неравенств и далее в эту систему вводятся различные исходные данные, сначала контрольные, для определения преемственности модели, а затем неизвестные, для углубления понимания объекта, процесса или явления и прогнозирования.

Процесс построения математической модели объектов состоит из трех этапов. Первый этап состоит в том, что определяются основные свойства и закономерности поведения объекта, процесса или явления. Обычно эти свойства и закономерности строятся на основе предположений или экспериментальных данных.

Следующим этапом производят переложение этих свойств и закономерностей на язык математических формул. Обычно ищут золотую середину, между количеством учитываемых факторов, влияющих на объект, явление или протекание процесса и сложностью составления математических отношений, исходя из того, что все учесть невозможно но необходимо обеспечить достаточную точность работы модели. Кроме того, исходные данные, для построения математической модели в большинстве случаев берут на основе экспериментальных наблюдений, которые как известно содержат определенные погрешности, которые переносятся и на математические соотношения. В результате подобных неточностей, системы уравнений и неравенств моделирующие одни свойства или внутренние взаимосвязи объектов явлений или процессов могут противоречить системам моделирующим другие свойства тех же самых объектов, явлений или процессов. Такие модели естественно пересматриваются.

Последним этапом математического моделирования является решение полученной математической задачи. Решив задачу, необходимо проанализировать полученные результаты и сравнить с их экспериментальными. Если окажется, что результаты вычислений не соответствуют экспериментальным данным, то модель пересматривается. Например, если пользуясь какой либо моделью солнечной системы, мы рассчитываем траекторию полета планеты, и эта траектория не совпадет с той, что окажется в результате наблюдений, то такая модель требует изменений.

В случае успешного тестирования математической модели, на ее основе пишут алгоритм, переводят ее на язык вычислительной техники и далее эти устройства обрабатывают модель с неизвестными параметрами.