3.4.4. Представление вещественных чисел в двоичной системе счисления.
В современной вычислительной технике используется два способа представления вещественных чисел в двоичной системе счисления: с фиксированной запятойис плавающей запятой.
3.4.4.1.Представление вещественных чисел в двоичной системе счисления с фиксированной запятой.
При представлении вещественных чисел в двоичной системе счисления с фиксированной запятой форма записи остается аналогичной десятичной системе счисления XXXX,XXXX. Перевод из десятичной системы счисления осуществляется по очереди: сначала переводиться целая часть, а потом дробная.
Пример 1.
Дано A(10)=43,97. НайтиA(2).
Решение:
Сначала переводим целую часть B(10)=43
B(2)=101011
Затем дробную C(10)=97
C(2)= 1100001
Записываем результат
A(2)= 101011,1100001
К преимуществам представления вещественных чисел с фиксированной запятой относиться простота арифметических операций, а к недостаткам слишком узкий диапазон представления чисел.
3.4.4.2.Представление вещественных чисел в двоичной системе счисления с плавающей запятой.
При представлении вещественных чисел в любой системе счисления используют запись с плавающей точкой. Любое число в любой системе счисления можно предстваит в виде:
,
где:
Q – основание системы счисления;
A – мантисса;
p – порядок.
Например в десятичной системе счисления число 3,14 можно представить в виде:
3,14=0,314*101
Здесь мантисса равна 0,314, а порядок равен 1.
Такое представление чисел далеко не однозначно. Число 3,14 можно представить как:
3,14=3,14*100=0,314*101=0,0314*102=…
Порядок числа определяет положение запятой и записи мантиссы. При изменении порядка соответствующим образом меняется положение запятой. Запятая как бы «плавает». Это изменение запятой и дало название способу представления чисел.
Число с плавающей точкой представляется неоднозначно. Одно из этих представлений называется нормализованным. В этом случае для десятичной системы счисления мантисса должна удовлетворять требованию:
Другими словами, первая цифра мантиссы после запятой должна быть отличной нуля. Для числа 3,14 представление в нормализованной форме будет иметь следующий вид:
3,14=0,314*101
Здесь A=0,314,p=1. Аналогично для числа -0,00062 имеем -0,00062=0,62*10-3A=0,62,p=-3.
Точно также в любой системе счисления с основанием Qчислоaнеравное нулю записывается в форме с плавающей точкой. Числоaназывается нормализованным, если выполняется условие:
Пример 1.
Пример 1.
Дано A(10)=43,97. НайтиA(2).
Решение:
Сначала переводим целую часть B(10)=43
B(2)=101011
Затем дробную C(10)=97
C(2)= 1100001
Записываем результат
D(2)= 101011,1100001
Теперь приводим число к нормализованному виду. Для этого сдвигаем запятую на шесть разрядов 6(10)= 110(2).
Получили мантиссу равную 0,1010111100001 и порядок равный 110.
Ответ:
A(2)=0,1010111100001*10110
3.5. Арифметические операции в системах счисления используемых вычислительной техникой.
Все правила вычислений любой позиционной системы счисления совпадают с правилами десятичной системы счисления.