3. Системы счисления.

Любую информацию окружающего нас мира можно представить в виде числовых значений, характеризующих положение свойства объекта относительно какой либо нулевой отметки. Совокупность способов построения, записи и наименования чисел называют системой счисления.

История развития способов счета насчитывает многие тысячелетия. Менялись средства счета: пальцы, камешки, счеты, арифмометры, компьютеры. Но их назначение оставалось неизменным: определение качественных и количественных характеристик объектов.

Различают два вида систем счисления это: позиционная система и непозиционная система.

Позиционная система счисления– количество определяемое цифрой числа зависит от позиции этой цифры в записи числа. Например в записи десятичной системы счисленияодна и та же цифра 1 определяет различные количества: сто, десять и один.

Непозиционная система счисления– количество определяемое цифрой числа не зависит от ее позиции. К непозиционным системам относиться римская система счисления. Например числоXXX– означает тридцать, а каждый символ означает десть, то естьX+X+X=XXX.

3.1. Десятичная система счисления.

Наиболее широко известной и применяемой на практике системой счисления является десятичная. Это позиционная система счисления. Десятичная система счисления имеет десять цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, что и определило название системы и ее важнейшую характеристику – основание системы. Обозначим ее буквойp. Для десятичной системы счисленияp=10.

Любую позиционную систему счисления можно разложить по степеням основания. Пусть в десятичной системе счисления задано некоторое число . Каждая позиция занимаемая цифрами называетсяразрядом числа. Разряды имеют названия и номера: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен, разряд тысяч и т.д. Названия разрядов определяют их вес: единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д. Вес разряда равен степени основания в порядке номера разряда.

В общем случае для разложения по степеням основания числа, записанного в десятичной системе счисления выражение будет иметь следующий вид:

(2)

где:

n – количество разрядов числа;

- значение соответствующего разряда.

где i– вес соответствующего разряда.

Так при разложения в степенной ряд по основанию десятичного числа получим:

Последняя запись представляет собой сумму произведений цифр числа на вес разрядов. Эту запись называют формулой разложения числа.

3.2. N-ричная система счисления.

Десятичная система счисления является частным случаем N-ричной системой счисления, то есть системой счисления по основаниюN.p=N, гдеN – положительное целое число.

N-ричная система имеетNцифр, от 0 доN-1. Формула разложении по степеням дляN-ричной системы счисления будет иметь следующий вид:

где:

- значение числа вN-ричной системе счисления;

q– количество разрядов числа записанного вN-ричной системе счисления.

i – номер разряда;

- значениеi-го разряда числа записанного вN-ричной системе счисления.

N– основание системы счисления, в которой записано число.

Примером N-ричной системы счисления может служить троичная, четверичная и т.д.