Геометрія ( 1 курс) - лекції / лекції з анал. геом. 4

. (5)

Нормаллю до лінії, проведеній в деякій точці, називають пряму, яка перпендикулярна до дотичної, проведеній в тій же точці. Оскільки вектор буде паралельним до нормалі, то рівняння останньої запишеться у виді

. (6)

Приклад 2. Скласти рівняння дотичних до еліпса, гіперболи та параболи у довільній точці, яка їм належить, у випадку, коли лінії задані канонічними рівняннями.

Розв’язання. Нехай еліпс заданий рівнянням та точка . Знаходимо , . Рівняння (5) запишеться у виді або . Таким чином, рівняння дотичної до еліпса має вид . Аналогічно, рівняння дотичної до гіперболи в точці записується у виді

.

У випадку параболи запишемо її канонічне рівняння у виді , звідки , . Рівняння (5) набуде виду . Оскільки , то рівняння дотичної можна записати у виді

.

Використовуючи одержане рівняння, знайдемо точку перетину дотичної з віссю . При дістаємо . Одержаний результат дозволяє зображати дотичну до параболи в заданій на параболі точці без додаткових обчислень.

Нагадаємо, що із виведеними співвідношеннями ми уже зустрічались в лекціях 13-14, п. 6, де для їх отримання довелось використати методи математичного аналізу. В даній лекціїі вони розглядаються як приклади наведених вище загальних міркувань.

Приклад 3. Знайти множину точок, з яких параболу видно під прямим кутом.

Розв’язання. Нехай - одна із точок шуканої множини, тобто кут між дотичними, які проведені до параболи із даної точки, рівний . Запишемо рівняння пучка прямих, які проходять через точку у виді . Даний пучок не містить вертикальних прямих, але такі прямі розглядати не потрібно, оскільки парабола не має вертикальних дотичних. Виберемо з пучка прямі, які дотикаються до параболи. Для цього система рівнянь та повинна мати єдиний розв’язок. На рівняння , яке дістаємо при розв’язуванн системи, накладемо умову, що його дискримінант рівний нулю. Отримаємо рівняння . Кожен з коренів одержаного рівняння визначає дотичну до параболи пряму. Дані дві прямі будуть перпендикулярними, якщо виконується умова . Скориставшись теоремою Вієта, дістаємо або . Дане співвідношення є рівнянням шуканої множини точок.

Відповідь: Шуканою множиною є точки прямої . Зауважимо, що для параболи ця пряма є директрисою.

Лекції 19 – 20

Деякі властивості ліній другого порядку та їх застосування до зображення ліній.

План.

1. Теорема про середини паралельних хорд лінії другого порядку.

2. Спряжені напрямки та спряжені діаметри.

3. Спряжені напрямки нецентральних ліній.

4. Головні напрямки та головні діаметри. Рівняння осей симетрії.

5. Рівняння асимптот лінії другого порядку.

6. Орієнтовна схема вивчення властивостей лінії другого порядку.

7. Приклади побудови ліній за їхніми рівняннями.

1. Розглянемо лінію другого порядку , задану рівнянням

, (1)

та проведемо хорди, які паралельні деякій прямій із напрямним вектором . Нас буде цікавити питання, яку фігуру утворюють середини всіх таких хорд. Насамперед нагадаємо, що для того, щоб деяка точка була серединою хорди , повинна виконуватись умова . Оскільки координати будуть змінюватись при переході від однієї хорди до іншої, то, позначаючи їх змінними та , дістаємо, що координати середин паралельних хорд задовольняють умову або . Одержану рівність запишемо у виді

. (2)

Якщо коефіцієнти біля змінних та одночасно не перетворюються в нуль, то рівняння (2) буде рівнянням першого степеня і визначатиме на площині деяку пряму (рис. 1).

Окремо дослідимо випадок, коли рівняння (2) не буде рівнянням першого степеня, тобто, коли виконуються умови . Оскільки дана система має ненульовий розв’язок , то її визначник . З рівності дістаємо . Якщо дані відношення позначити через , то . Оскільки перше рівняння системи тепер можна записати у виді , то дана система рівносильна одному із своїх рівнянь, нехай першому: . З одержаної рівності дістаємо, що вектор колінеарний вектору . Через деяку точку лінії у напрямку вектора проведемо пряму та знайдемо другу точку її перетину з лінією . У квадратному рівнянні , яке характеризує перетин лінії другого порядку з прямою (лекція 19, п.2), обчислимо коефіцієнт .

.

Цей факт означає, що другої точки перетину прямої та лінії не існує (у лекції 18 ми називали таку точку нескінченно віддаленою). Оскільки досліджується питання розташування середин паралельних хорд скінченої довжини, то у випадку, коли виконуються умови , таких хорд просто не існує.

Таким чином, вірне наступне твердження.

Теорема. Середини паралельних хорд лінії другого порядку утворюють пряму.

Задача 1. Знайти геометричне місце середин хорд параболи , які проведені паралельно до прямої .

Розв’язання. Очевидно, що вектор паралельний до прямої. Обчислимо вирази та , записавши рівняння лінії у виді . Знаходимо . Вираз в нашій задачі запишеться у виді рівності .

Відповідь: пряма .

2. Пряма, яка паралельна до вектора і не перпендикулярна до осі утворює з її додатнім напрямком деякий кут , для якого . Середини паралельних до цієї прямої хорд утворюють пряму, яка, як нам відомо, задається рівнянням . Кутовий коефіцієнт даної прямої буде дорівнювати

.

Із одержаної рівності отримуємо співвідношення

,

яке означає, що середини хорд, паралельних прямій з кутовим коефіцієнтом , утворюють пряму, кутовий коефіцієнт якої дорівнює . Напрямки прямих, кутові коефіцієнти яких задовольняють умову

, (3)

називають спряженими напрямками лінії . У випадку, коли , тобто, коли знаменник у рівності (3) перетворюється в нуль, пряма із спряженим напрямком, очевидно, перпендикулярна до осі . Якщо лінія центральна, то пряма або проходитиме через центр лінії, оскільки вирази та в центрі лінії перетворюються в нуль.

Пряму, яка проходить через центр лінії, називають її діаметром.

Розглянемо два діаметри, які мають спряжені напрямки, тобто кожен із цих діаметрів ділить пополам хорди, паралельні до іншого. Такі діаметри називають взаємно спряженими (на рис. 2 – це діаметри та ).

Очевидно, що спряжені діаметри задаються рівняннями

та . Кутовий коефіцієнт діаметра дорівнює , а кутовий коефіцієнт діаметра рівний . У випадку, коли , тобто, коли напрям вектора перпендикулярний до осі рівняння спряжених діаметрів запишуться у виді та .

Задача 2. Знайти рівняння діаметра лінії , знаючи, що він паралельний до прямої , а також спряженого до нього діаметра.

Розв’язання. Знаходимо , . Система рівнянь для відшукання центра лінії має очевидний розв’язок . Рівняння діаметра, який паралельний заданій прямій, запишеться у виді або . Оскільки кутовий коефіцієнт знайденої прямої рівний , то, використавши рівняння , дістаємо або . Зауважимо, що цю ж відповідь можна було отримати іншим способом, а саме використавши відомий центр лінії – точку та обчисливши кутовий коефіцієнт шуканого спряженого діаметра за формулою (3): .

Відповідь: , .

3. Дослідимо питання відшукання спряжених напрямків для нецентральних ліній, тобто ліній, для яких . У цьому випадку . Позначивши дані відношення через , дістаємо . Тому спряжений напрям до напрямку, який визначається кутовим коефіцієнтом , буде задаватися числом

.

У випадку, коли , дістаємо , тому пряма із спряженим напрямком буде перпендикулярною до осі . Таким чином, для нецентральних ліній, незалежно від напрямку вектора , спряжений напрямок буде один і той же і він визначається числом . У випадку параболи прямі з таким напрямком називають її діаметрами. На рисунку 3 спряженими до векторів та є відповідно діаметри та .

Задача 3. Знайти рівняння спільного діаметра ліній, заданих рівняннями та .

Розв’язання. Легко встановити, що лінія, задана другим рівнянням, є нецентральною. Оскільки для неї , то серед діаметрів першої лінії потрібно вибрати той, який теж має кутовий коефіцієнт . Рівняння спільного діаметра можна скласти, знаючи точку , яка є центром першої лінії та знайдена у попередньому пункті, а також її кутовий коефіцієнт:.

Відповідь: .

4. Означення. Два спряжені діаметри лінії другого порядку називають головними, якщо вони взаємно перпендикулярні.

На рисунку (4) головними діаметрами лінії є прямі та . Займемося питанням, як знаходити головні діаметри.

Оскільки дві прямі з кутовими коефіцієнтами та будуть перпендикулярними, якщо виконується умова , то, підставляючи у рівність (3) значення , дістаємо

,

звідки отримуємо співвідношення для відшукання коефіцієнта :

. (4)

Одержане рівняння завжди має розв’язки, оскільки його дискримінант . Очевидно, що лише при умовах . У цьому випадку рівняння лінії можна звести до виду , де - деякі числа. При умові >0 одержане співвідношення задає коло, для якого будь-які два взаємно перпендикулярні діаметри є головними.

Нехай числа та є коренями рівняння (4). Тоді рівності

, (5)

будуть визначати головні діаметри лінії .

Головні діаметри є осями симетрії лінії. Справді, якщо - деяка хорда лінії та - два її головні діаметри, причому , то відрізок буде ділитися прямою пополам. Отже, точки та симетричні відносно . Тому одержані вище рівняння (5) будуть одночасно рівняннями осей симетрії лінії .

Для відшукання осі симетрії параболи, кутовий коефіцієнт якої нам відомий і рівний зауважимо, що вона ділить пополам хорди, які перпендикулярні до неї. Напрямок цих хорд задається кутовим коефіцієнтом . Підставляючи дане число в рівняння , дістаємо, що рівняння осі симетрії параболи запишеться у виді

. (6)

Вісь симетрії параболи називають її головним діаметром. На рисунку 3 – це пряма .

При необхідності вершину параболи можна знайти, розв’язавши систему рівнянь (1), (6).

Задача 4. Знайти рівняння осей симетрії лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Знаходимо , . Рівняння (4) у даному випадку матиме вигляд , звідки . Підставляючи одержані значення у рівняння (5), дістаємо .

Відповідь: , .

Задача 5. Знайти рівняння осі симетрії та вершину параболи, заданої рівнянням .

Розв’язання. Знаходимо , , . Використавши рівняння (6), дістаємо рівняння осі симетрії параболи у виді , або . Для відшукання вершини параболи складемо систему рівнянь виду (1), (6): . Розв’язуючи її, дістаємо , або .

Відповідь: ; .

5. Займемось питанням існування та знаходження асимптот лінії . У лекції 18 (п. 2) ми встановили, що умовою того, щоб пряма мала відносно лінії асимптотичний напрям, у квадратному рівнянні , яке характеризує перетин лінії другого порядку з прямою, коефіцієнт повинен бути рівним нулю. Нагадаємо, що напрям прямої при цьому задається вектором , або кутовим коефіцієнтом , якщо .

Нехай . Очевидно, що у цьому випадку рівність неможлива при , оскільки вектор не може бути нульовим. Розділивши дану рівність на , дістаємо співвідношення