Геометрія ( 1 курс) - лекції / лекції з анал. геом. 4

. (7)

Одержане квадратне рівняння має два корені при умові, що , один корінь, якщо та не матиме коренів, якщо .

У залежності від знаку числа лінії другого порядку класифікують наступним чином: якщо , то лінію називають лінією еліптичного типу, при - параболічного, а при - гіперболічного типу. У випадку, коли лінія гіперболічного типу, рівняння

, , (8)

де та - корені рівняння (7), будуть визначати асимптоти лінії , оскільки відповідні прямі мають асимптотичний напрям та проходять через центр лінії. При рівняння (7) матиме корінь . Він визначає асимптотичний напрям для нецентральних ліній. Для ліній еліптичного типу асимптоти відсутні.

Якщо , то умова запишеться у виді . Звідси дістаємо два вектори, які задають асимптотичний напрям: та . Перший вектор визначає прямі, які мають асимптотичний напрям та перпендикулярні до осі . Другий вектор при має напрям вектора , а при визначає прямі з кутовим коефіцієнтом .

При очевидно, що і лінія параболічного типу, а при , дістаємо , тобто лінія гіперболічного типу і має дві асимптоти. Скориставшись рівністю , дістаємо рівняння шуканих асимптот у виді

, .

Задача 6. Знайти рівняння асимптот лінії, заданої рівнянням .

Розв’язання. Складемо рівняння для відшукання кутових коефіцієнтів асимптотичних напрямків. Використавши рівність (7), дістаємо, звідки , . Оскільки , , то, скориставшись рівнянням (8), дістаємо при пряму , а при пряму .

Відповідь: .

6. У випадку, коли виникає необхідність зобразити лінію , задану рівнянням

,

можна користуватися різними підходами. Деякі з них будуть розглянуті в наступних лекціях. Зараз ми розглянемо, як для побудови графіка лінії другого порядку використовуються її властивості. Опишемо один із можливих алгоритмів дослідження.

1. Встановлюємо тип лінії. Для цього обчислюємо визначник . Якщо , то задана лінія еліптичного типу, при - параболічного, а при - гіперболічного типу.

2. У випадку, коли , шукаємо центр лінії (див. лекцію 18, п.3). Для цього складаємо систему рівнянь . Оскільки , то система має єдиний розв’язок . При даний етап пропускаємо.

3. Шукаємо осі симетрії лінії. Якщо , то рівняння осей симетрії запишуться у виді

, , де числа та є коренями рівняння . При віссю симетрії буде пряма, задана рівнянням (див. п.3).

4. Якщо і задана лінія гіперболічного типу, то шукаємо її асимптоти. Їхні рівняння, як нам відомо (див. п.4), записуються у виді , . Числа та у даному випадку є коренями рівняння . Якщо , то рівняння асимптот дістаємо у виді , .

5. Шукаємо деякі точки, які належать лінії. Системи та дозволяють знайти точки перетину лінії з координатними осями. Системи , де () – кутові коефіцієнти осей симетрії, дозволяють знайти вершини лінії. Очевидно, що у випадку еліпса кожна із систем матиме два розв’язки, а у випадку гіперболи одна із цих систем розв’язків мати не буде. У випадку параболи система рівнянь та дозволяє знайти її вершину. Крім знайдених точок можна використовувати і інші, зокрема точки, симетричні точкам перетину лінії з координатними осями відносно осей симетрії.

Знайдені вище точки та прямі дозволяють виконати зображення лінії, заданої початковим рівнянням.

7. Розглянемо на конкретних прикладах задачі на побудову центральних ліній.

Задача 7. Побудувати лінію, задану рівнянням .

Розв’язання. Оскільки , то лінія, яку ми досліджуємо, еліптичного типу. Система для відшукання центра запишеться у виді . Розв’язавши її, знаходимо . Рівняння осей симетрії було знайдено раніше (задача 4) у вигляді співвідношень , . Знайдемо точки перетину лінії з координатними осями. Системи та мають розв’язки , яким відповідають точки . Знаходимо точки перетину лінії з осями симетрії. Для цього складаємо системи рівнянь

, ,

звідки дістаємо ще чотири точки на лінії: , . Знайдені нами прямі та точки дозволяють зобразити лінію (рис. 5).

Задача 8. Побудувати лінію, задану рівнянням .

Розв’язання. Встановимо тип лінії. Для цього обчислюємо визначник . Отже, лінія гіперболічного типу. Шукаємо центр лінії. Із системи

дістаємо. Рівняння осей симетрії шукаємо у виді , . Числа знаходимо, як корені рівняння , тобто рівняння . Дістаємо . Після очевидних перетворень рівняння осей симетрії запишуться у виді .

Займемось відшуканням рівнянь асимптот. Підставляючи у рівності , замість та корені рівняння (у даному випадку воно запишеться у виді і матиме корені , ), дістаємо рівняння двох асимптот: . Шукаємо точки перетину лінії з координатними осями. Із систем та дістаємо точки . Точки перетину лінії з осями симетрії

знаходимо із систем та . Із першої системи дістаємо , що визначає дві точки . Очевидно, що друга система розв’язків не має, оскільки гіпербола перетинається тільки з одною із своїх осей симетрії. Отримані вище результати дозволяють зобразити лінію (рис. 6).

Задача 9. Побудувати лінію, задану рівнянням .

Розв’язання. Встановлюємо тип лінії. Обчисливши визначник , бачимо, що дана лінія параболічного типу. Шукаємо вісь симетрії. Використавши рівність

та обчисливши вирази , дістаємо рівняння . Знайдемо точку перетину лінії із одержаною прямою, тобто вершину параболи. Із системи рівнянь дістаємо . Вісь задана лінія не перетинає, оскільки при рівняння не має.