12.Класифікація нескінченно великих

Якщо ліміт х->а y(x)/g(x)=∞ то y(x)-нескін велика вищого порядку а g(x)-нескін велика нижчого порядку. Якщо ліміт х->а y(x)/g(x)до к степеню=б – скінченна то y(x) є нескінченно великою катого порядку по відношенню до g(x). Якщо границя відношень нескін великих не існує то кажуть що такі нескін великі не порівнювані. Якщо ліміт х->а y(x)/g(x)=с – скінченна то кажуть що ці нескінченно великі однакового пордяку.

15. Властивості функцій , що мають границю. Якщо функція f(x) при х->а має границю А, і А>р то всі значення змінної починаючи з якогось місця також будуть більші за р. так само для А менше р. Якщо функція f(x) має границю а при х->а і g(x) має границю б при х->а то і сума f(x)+ g(x)=а+б.

Властивості функцій, що мають границі.

1). Нехай (х), g(х) – функції, для яких існує (х) і g(х), тоді

а) існує (х)+g(х) та (х)+g(х)= (х)+g(х).

б) існує (х)g(х) та (х)g(х)= (х)g(х).

в) для будь-якої сталої С: С(х)=С(х).

г) при g(х) існує (х)g(х) та (х)g(х)= (х)g(х).

2). Якщо (х)g(х), то (х)g(х).

3). Якщо (х)=С, де С –довільне дійсне число, то (х)=С, тобто границя сталої в довільній точці х₀ дорівнює самій цій сталій.

4). Функція не може мати двох різних границь в одній точці.

16.Границя монотонної варіанти, число е. Варіанта x_n називається монотонно зростаючою, якщо x₁<x₂<x₃<…<x_n<…

Монотонно спадною,не зростаючою, якщо n’>n=>x_n>x’_n

n’>n x_n>x’_n - спадна

n’>n x_n≥x’_n - не зростаюча

n’>n x_n≤x’_n – не спадна

Ці 4 типи монотонні.

Якщо змінна x_n монотонна і обмежена зверху, то вона має границю М, x_n≤М.

Якщо змінна монотонно спадна і обмежена знизу, то вона має скінченну границю x_n=(1+1/n)ⁿ

Границя lim(1+1/n)ⁿ назначена, як число е (Число Ейлера), воно ірраціональне, неперіодичне, е=2,71…

x_n – монотонно зростаюча, а y_n-монотонно спадна, при чому x_n <y_n. Якщо їхня різниця x_n - y_n→0 при зростанні номера n, то обидві варіанти мають спільну границю lim x_n= lim y_n=c

(c-cпільна точка).

19. Неперервність монотонної функції.

Нехай функція F(x) є монотонно зростаючою на деякій множині Х, при чому цей проміжок може бути як скінченний так і не скінченний, і своїми значеннями заповнює даний проміжок повністю то вона на цьому проміжку неперервна.

Монотонно зростаюча на деякому проміжку Х, F(x) може мати розриви тільки 1-го роду.

Теорема. Елементарна функція є неперервною на своїй області визначення. Основними елементарними функціями є степенева х в степені а показникові а в степені х логарифмічна тригонометрична оберненотригометрична.

Нехай функція F(x) визначена, строго монотонна, зростаюча та неперервна на деякому проміжку Х , тоді на відповідному проміжку У з множини значень функції існує обернена функція, яка також є монотонно зростаюча і неперервна.

20. Неперервність складеної функції . Застосування неперервності до обчислення границь. Функція у = F(u), де u = j(x), називається складною (складеною) функцією, або суперпозицією функцій F(u) та j(х), і позначається y = F(j (x)).Якщо j(x) неперервна в точці х=а а функція F(u) неперервна у відповідній точці j(а) то функція F(j(x)) – неперервна в точці х=а. Якщо f неперервна (наприклад елементарна), то можна заносити границю в аргумент: .Приклад. .

Якщо функція Φ(х) неперервна в точці а, а F(x) неперервна в Φ(а), то складена функція F(Φ(x)) неперервна в точці х=а.

Якщо функція U(x) при x→a має границю число А, а функція π(х) при x→a має границю – В, то U^π(x) має скінченну границю, при чому lim U^π(x) =A^B

23. Перша і друга теорема Вейрштраса. Теорема Кантора та наслідок з неї.

Якщо функція f(x) визначна і неперервна в замкнутому проміжку то вона на цьому проміжку обмежена. Друга теорема Вейєрштраса. Якщо функція f(x) визначна і неперервна в замкнутому проміжку то на цьому проміжку вона досягає свого найбільшого і найменшого значення. Теорема Кантора. Якщо функція f(x) визначена і неперервна в замкнутому проміжку то вона на цьому проміжку рівномірно неперервна.

Наслідок Якщо функція f(x) визначена і неперервна на замкненому проміжку то для Е>0 знайдеться б>0 таке що якщо цей проміжок розбити на відрізки менші з б то коливання функції на кожному з них буде менше за Е.