- •3.Варіанта-змінна.
- •4. Нескінченно малі та нескінченно великі величини.
- •7.Леми про нескінченно малі:
- •12.Класифікація нескінченно великих
- •24. Задачі , які приводять до поняття похідної. Означення похідної.
- •27.Найпростіші правила диференціювання. Похідні оберненої функції. Похідна складеної функції.
- •31 Інваріантність форми диференціалу першого порядку
- •32 Застосування диференціала в наближених обчисленнях
- •35 Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично
- •36 Формула Тейлора для многочленів та довільних функцій
- •39.Застосування формули Тейлора до наближених обчислень.
- •40. Правило Лопіталя- Бернуллі. Розкриття невизначеності 0/0 та ∞/∞ .
- •43.Екстремуми функції , необхідні умови
- •44.Достатні умови екстремуму , перше правило.
24. Задачі , які приводять до поняття похідної. Означення похідної.
Геометричний зміст похідної визначає кутовий коефіцієнт дотичної , а швидкість виражає фізичний зміст похідної.Можна похідну від функції в точці розглядати як швидкість зміни функції в цій точці. Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).
27.Найпростіші правила диференціювання. Похідні оберненої функції. Похідна складеної функції.
28. Односторонні та нескінченні функції.
Якщо т Х0 є лівим чи правим кінцем відрізка то говорячи про похідну як про границю відношення приросту функції до приросту аргументу матимемо на увазі що в першому випадку приріст аргумента має бути додатнім а в другому від’ємним.Тобто буде йти мова про односторонні похідні.Якщо границя відношення приросту функції до приросту аргументу існує але рівна 00 в такому випадку говорять про нескінченні похідні.В такому випадку дотична до кривої вертикальна.
31 Інваріантність форми диференціалу першого порядку
Для диференційовної функції , причомудля незалежної змінної.
Нехай функції та- диференційовні і задають складну функцію. Тоді, але. Тому, де- диференціал функції.
Отже, диференціал першого порядку зберігає свою форму, тобто диференціал першого порядку має один і той же вигляд, який не залежить від того чи - незалежна змінна чи функція.
На основі цієї властивості маємо наступні правила для обчислення диференціалу першого порядку:
1) ;
2) ;
3) .
32 Застосування диференціала в наближених обчисленнях
З означення похідної функції в точці випливає, що її прирістможна подати у вигляді:, де, якщо.
Отже, при малих має місце наближена рівність:
, тобто .
Звідки
. (3.12)
Формула (3.12) дозволяє знаходити значення функції в точці, якщо відомі значенняі, з точністю
,
де .
Приклад 3.13. Наближено обчислити значення .
Розв’язання. В даному випадку ,. Покладемо, що відповідаєв градусній мірі;
.
За формулою (3.12), отримаємо:
,
тобто .
Для того, щоб оцінити абсолютну і відносну похибки, скористаємось більш точним значенням, отриманим за допомогою калькулятора: . Тоді, а відносна похибкадорівнюватиме:
.
Приклад 3.14. Наближено обчислити значення .
Розв’язання. В даному випадку .
Нехай ,, тодіі за формулою (3.12):, отримаємо, що:
.
Використовуючи калькулятор, отримаємо: . Тоді, а відносна похибкадорівнюватиме:
35 Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично
. Якщо функції і
параметрично задають функцію , то похідні,, можна послідовно обчислити за формулами:
, і т. д.
Так, для похідної другого порядку має місце формула:
. (3.15)
Приклад 3.19. Знайти похідну функції, заданої параметрично:,.
Розв’язання.
за формулою (3.15)