Исследование функций

2) y не существует; таких точек нет.

5

3

x

Функция выпукла на интервале ; 53 , вогнута на интервале

5	;		. Точка перегиба	5	;			250					.
3				3
									27
	Ответ: точка перегиба					5	;			250					; функция выпукла на интервале
					3				27
	;	5	, вогнута на интервале								5	;			.
		3							3

4. Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции y f (x) называется прямая l , к

которой неограниченно приближается точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат.

Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у графиков функций, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые).

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

На рис.4 изображена вертикальная асимптота l ,

11

у

l

0

x

Рис. 4

на рис. 5 – горизонтальные асимптоты l1 и l2 ,

y

l1

0 х l 2

Рис. 5

а на рис. 6 – наклонная l .

y

l

0

х

Рис. 6

12

Этими случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

Нахождение асимптот графика функции y f (x) основано на следующих утверждениях.

Теорема. Пусть функция y f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы

один из пределов функции при x

x0

0 (слева)

или при x

x0

0

(справа)

равен

бесконечности,

т.

е.

lim

f (x)

или

x

x0

0

lim

f (x)

. Тогда прямая x

x0

является вертикальной асим-

x x0

0

птотой графика функции y

f (x) .

Вертикальные асимптоты

x

x0

следует искать в точках разрыва

функции y

f (x)

или на концах ее области определения (a; b) , если

a и b – конечные числа.

Теорема. Пусть функция

y

f (x)

определена при достаточно

больших

x

и

существует

конечный

предел функции lim

f (x)

b .

x

Тогда прямая

y

b есть горизонтальная асимптота графика функ-

ции y

f (x) .

Замечание. Если пределы lim

f (x)

b и lim f (x)

b1 конечные и

x

x

различные,

то прямые y

b

и y

b1

будут горизонтальными асим-

птотами (правосторонней и левосторонней).

Может оказаться, что только один из этих двух пределов конечен, тогда будет одна горизонтальная асимптота.

В том случае, если lim f (x)	, функция может иметь наклонную
x
асимптоту.
	13

	Теорема.		Пусть функция y		f (x) определена при достаточно
	больших	x	и	существуют	конечные	пределы lim	f (x)	k и
							x
						x
	lim f (x)	k	x	b . Тогда прямая y k		x b является наклонной
	x

асимптотой графика функции y f (x) .

Частным случаем наклонной асимптоты (при k 0 ) является гори-

зонтальная асимптота.

Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

								x2
Пример 4.1. Найти асимптоты графика функции				f (x)						.
							x		1
Решение. Функция непрерывна всюду, кроме точки,						x			1 в кото-
								x2
рой она			терпит разрыв второго рода, причем		lim						,
					x	1 0 x			1
lim	x2		. Отсюда следует, что прямая x	1	–	вертикальная
x 1 0 x 1

асимптота и других вертикальных асимптот нет.

Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимптоты. На-

ходим k

lim

f (x)

lim

x

1 , откуда b lim

f (x) k

x

x

x

1

x

x

x

lim

x2

x

lim

1

0 .

x

x

1

x

x

1

Таким

образом,

прямая

y

x – наклонная

асимптота

графика

функции при x

. Аналогично получим, что эта прямая является

наклонной асимптотой и при x

.

Поскольку угловой коэффициент k наклонной асимптоты не равен нулю, то график функции не имеет горизонтальных асимптот.

Ответ: x 1 , y x .

14

5. Общая схема исследования функций и построения графиков

Исследование функции y f (x) целесообразно вести в определенной последовательности.

1.Найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность.

3.Найти точки пересечения графика с осями координат.

4.Найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции.

5.Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

6.Найти асимптоты.

7.Построить график функции.

	Пример 5.1. Исследовать функцию	y	x2	1		и построить ее гра-
			x2	1

фик.

Решение. Для построения графика функции проведем ее исследо-

вания по указанной выше схеме.

1. Функция не определена при x

1 и x 1 . Область определения

D( y) функции –

вся числовая ось, за исключением точек x 1 и

x 1 , т. е. D( y)

(

; 1)

( 1;1)

(1;

).

2. Функция y

x2

1

является четной, так как

x2

1

y (

x)

(

x)2

1

x2

1

y (x) .

(

x)2

1

x2

1

Следовательно, график симметричен относительно оси Oy . Функ-

ция не периодическая.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

	С осью Ox :	y	0 , тогда	x2	1		0 , отсюда x		Ø, т. е. точек пересе-
				x2	1
	чения с осью Ox нет.
	C осью Oy :	x	0 , тогда y		0	1	1	, т. е. (0;	1) – точка пересече-
					0	1

ния с осью Oy .

15

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции. Вычисляем первую производную функции:

у

x2

1

(x2

1) (x2

1) (x2

1) (x2 1)

x2

1

(x2 1)2

2x (x2 1) (x2

1) 2x

4x

.

(x2

1)2

(x2

1)2

Критические точки:

1)

y 0 или

4x

0 , откуда x

0 ;

(x2 1)

2

2)

y не существует, когда x1

1 и x2

1 .

Точки x 1 и x 1 не являются критическими, поскольку они не принадлежат области определения функции, но так как они влияют на распределение знаков производной, то пренебречь ими нельзя:

		1	0	1	x
В интервалах		; 1	1;0 функция возрастает, в интервалах
0;1 1;	функция убывает. Точка x			0 будет точкой max, так как

при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «−», тогда

	ymax (0)	02	1	1.
		02	1

5. Для отыскания интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба, найдем вторую производную:

у		4x			( 4x) (x2		1)2	( 4x) ((x2				1)2 )
	(x2	1)	2				(x2	1)4
4 (x2 1)2		4x 2 (x2 1) 2x					4x2		4 16 x2			4 (3x2			1)	.
	(x2		1)4				(x	2	1)	3		(x	2	1)	3

Критические точки:

16

1)	y	0 или	4	(3x2 1)	0	, откуда x	Ø;
				(x2 1)3
2)	y	не существует, когда x1 1 и x2					1 (точки разрыва функции).

Точки x 1 и x 1 не являются критическими, но так как они влияют на распределение знаков второй производной, то наносим эти точки на числовую ось и исследуем знак второй производной на каждом из интервалов:

	1		1	x
Точек перегиба нет, поскольку точки x			1 и x	1 не принадле-
жат области определения функции.
В интервалах	; 1 1;	график функции − вогнутый, а в ин-

тервале 1;1− выпуклый.

6. Найдем асимптоты графика функции.

Прямые x 1 и x

1 являются вертикальными асимптотами графи-

ка рассматриваемой функции.

Наклонную асимптоту ищем в виде:

y

kx

b , где

x

2

1

x

2

1

y(x)

x2

1

k

lim

lim

x2

1

lim

lim

x3

x3

x

x

x3

x

x3

x

x

x

x

x

x3

x3

1

1

0

2

x

x

3

x

1

lim

0 и b

lim ( y(x)

k x)

lim

0

x

1

1

x2

1

x

1

x

x

x2

x2

1

1

1

lim

x2

1

lim

x2

x2

x2

1.

lim

x

x2

1

x

x

2

1

x

1

1

x2

x2

x2

17

	Так как k 0 , то y				1 − горизонтальная асимптота. В силу четно-
сти функции прямая y					1 является горизонтальной асимптотой и при
x			и при x		. Наклонных асимптот нет.
	7.		Учитывая полученные результаты, строим график функции
		x2	1
y				:
		x2	1

y

	1
			y 1
1	0	1	x
	1
x 1		x 1

18

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Студент выполняет индивидуальное задание по варианту, номер которого соответствует номеру его фамилии в журнале посещаемости занятий. Работа должна быть выполнена в отдельной тетради. Условие задания следует записывать полностью, а решение подробно. Необходимые чертежи должны выполняться четко. Студент защищает свою работу у преподавателя.

Задание. Исследовать функции и построить их графики.

1.	y							5x							.								2.	y	1				4x2 .						3.	y						х					.
							x				5															x													1				х	2
4.	y			(x 3)											2								5.	y x e						2 .					6.	y		(x 1)							3		.
															.
																														x2
							x				4																														3x2
7.	y								x3								.						8.	y x3					3 x .						9.	y 4x2							x4				3.
						x2							4
																												x3												x2				1		.
10.	y	3 6x2													x3 .								11.	y								.			12.	y
																									1				x2
																																										x
13.	y								x2										.				14.		x2				3x			2			15.					x2				5
								x2					1											y				x	1 .							y				x		3 .
16.						x2							1										17.	y		x		2	e	x		.			18.	y		(x				3)3								.
	y															.
																																					(x			3)2							4
								x			1
									x3
19.	y																			.			20.	y	3 x3					3x .					21.	y	x					1						x .
		9						(x					2)
22.	y								2x							.							23.	y	(x				1)	ex .					24.	y			x			ln x .
						1 x							2
										1																	x3			4
									e x																												3
25.																							26.	y								.			27.										3
		y											.																							y				1			x .
																												x2
									x
28.	y								x3													.	29.	y					x			.			30.	y x3					12 x						5 .
		4					(x2								9)										1				x2
																								19

31.	y	x4		10 x2 10.			32.	y				x		.			33.	y	x2		ln x .
											x	2
34.	y	x	2	2	ln x .		35.	y	2x2			3x				.	36.					x2
																		y		e	2 .
											x	2
37.				3x2	1		38.					e x	2				39.	y			2			.
		y				.		y	x					.
																			1			x2
				x	1
							40.	y			x3			.
									3			x2

20