5. Функции нескольких переменных

1. Частные производные и дифференциал функции.

   1. Найти частные производные ,ифункций: а); б)

   2. Найти дифференциал функции.

   3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению.

2. Приложения частных производных.

   1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке.

   2. Для функции в точкенайти градиент и производную по направлению.

6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы

1. Двойные интегралы.

   1. Изменить порядок интегрирования:

.

2. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точкии.

3. Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

2. Тройные интегралы.

   1. Найти , если телоV ограниченно плоскостями и.

   2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

3. Криволинейные интегралы.

   1. Вычислить , где,, а контурС образован линиями ,: а) непосредственно; б) по формуле Грина.

   2. Вычислить , где контурС является одним витком винтовой линии:

.

7. Элементы теории поля

1. Дифференциальные операции.

   1. В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

.

2. Найти в точке градиент скалярного поля

.

3. Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

4. Найти в точке ротор векторного поля

.

2. Интегралы и интегральные теоремы.

   1. Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.

   2. Даны поле и цилиндрD, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x²+y²=(n+1)². Найти:

а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

3. Даны поле и замкнутый виток, ( обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контураγ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.

8. Дифференциальные уравнения

1. Уравнения первого порядка.

   1. Найти общее решение уравнения:

а) ; б); в) .

1. Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляламиллионов рублей.

1. Линейные уравнения высших порядков.

   1. Решить задачу Коши:

а)

б) .

3. Системы линейных уравнений.

   1. Решить систему линейных уравнений

с начальными условиями.

9. Ряды

1. Числовые ряды.

   1. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

а) ; б);

в) ; г).

2. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

а) ; б).

2. Степенные ряды.

   1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б).

2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х₀:

а) ; б).

3. С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:

а) ; б).

3. Ряды Фурье.

   1. Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:

а)

в интервале ;

б) в интервале.

в) в интервале.