Лабораторная работа №15 Моделирование поведения линейных и нелинейных колебательных систем

Во многих физических системах движение носит регулярный периодический характер. Движение, которое повторяется через конечный интервал времени, например, движение Земли вокруг Солнца, называют периодическим. А любое периодически повторяющееся движение называется колебанием. Примерами колебаний, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни, служат маятник в часах и звучащая струна гитары. Менее очевидными примерами являются микроскопические явления, такие как колебания атомов в кристаллах.

Для ознакомления с основными понятиями, связанными с простыми колебаниями, рассмотрим тело массой т, прикрепленное к свободному концу пружины (рис.15.1). Тело скользит по горизонтальной поверхности без трения. Будем задавать положение тела координатой х и примем точку х=0 в качестве положения равновесия, т. е. положения в котором пружина ненапряжена. Если тело сместить из положения равновесия х=0 и затем отпустить, то оно будет колебаться в горизонтальном направлении. Известно, что если пружина не слишком сильно растянута или сжата, то сила, действующая на тело с координатой х, является линейной относительно х

:

F =-кх. (15.1)

Рис.15.1. Пример одномерного простого гармонического осциллятора

Силовая постоянная к является мерой жесткости пружины. Знак минус в (15.1) указывает на то, что сила стремится вернуть тело в положение равновесия. Уравнение движения этого тела можно записать в виде

(15.2)

где . Уравнение (15.2) есть пример линейного дифференциального уравнения второго порядка. Движение, описываемое уравнением (15.2) называется простым гармоническим колебанием, и его решение можно выразить аналитически через синусы и косинусы. Приведем здесь решение этого уравнения. Одно из решений имеет вид

, (15.3)

где а и - постоянные, а аргумент косинуса выражается в радианах. Постоянныеа и называются амплитудой и начальной фазой и могут быть определены из начальных условий для координатых и скорости = dx/dt. Поскольку косинус является периодической функцией с периодом 2, то функцияx(t) в выражении (15.3) также периодическая. Определим период Т как наименьшее время, через которое движение повторяется, т.е.

x{t + T)=x{t).

Поскольку Т соответствует одному периоду, получим

(15.4)

Частота колебаний представляет собой число периодов в секунду и определяется выражением. Заметим, что Т зависит от отношения к/т и не зависит от а и . Следовательно, период простых гармонических колебаний не зависит от их амплитуды. Хотя координата и скорость осциллятора непрерывно изменяются, полная энергия Е остается постоянной и равна

(15.5)

Эти два члена в формуле (15.5) можно отождествить соответственно с кинетической и потенциальной энергией.

Другим общеизвестным примером колебательной механической системы является «математический» маятник. Уравнение движения для маятника имеет следующий вид

ml или , (15.6)

где l длина, а угол отклонения маятника. Уравнение (15.6) является примером нелинейного дифференциального уравнения. Большинство нелинейных уравнений не имеют аналитических решений и (15.6) не является исключением. Однако, если амплитуда колебаний маятника достаточно мала, то можно предположить sin и (15.6) переписать в виде

(15.7)

для 1. Если сравнить уравнения (15.2) и (15.7) и сопоставить переменные х и , то видно, что эти два уравнения имеют одинаковый вид и следовательно они будут иметь одинаковое решение. Отсюда можно сделать сразу вывод, что для «1 период математического маятника равен

T=2(15.8)

В случае больших амплитуд колебаний для получения представления о движении маятника необходимо численно решить уравнение (15.6). Поскольку мы знаем, что численное решение должно удовлетворять условию сохранения полной энергии, то напишем выражение для нее в явном виде

E= (15.9)

Первый и второй члены в выражении (15.9) представляют собой кинетическую и потенциальную энергии соответственно.

Известно, что в природе большинство колебаний постепенно уменьшается до тех пор, пока смещение не становится нулевым. Такие колебания называются затухающими. В качестве примера гармонического осциллятора с затуханием рассмотрим движение грузика с учетом горизонтальной тормозящей силы. Для движения с малыми скоростями в качестве приближения разумно принять, что тормозящая сила пропорциональна первой степени скорости. В этом случае уравнение движения можно записать в виде

(15.10)

где коэффициент у представляет меру тормозящей силы.

Далее остановимся на рассмотрении колебаний, которые имеют место в электрических цепях. Отправной точкой в теории электрических цепей является закон Кирхгофа, который гласит, что сумма падений напряжения на участках замкнутой цепи равна нулю. Этот закон является следствием сохранения энергии, которая теряется или приобретается в процессе прохождения единичного заряда через элементы цепи. Представим себе электрическую цепь, состоящую из источника переменного напряжения и соединенных последовательно резистора, индуктивности и конденсатора (рис.15.2). Падение напряжения на каждом элементе цепи определяется с помощью следующих формул:

V_R=IR; V_c=; V; (15.11)

Рис.15.2. Простая последовательная RLC-цепь с источником напряжения V_s.

Соответствующее этой цепи общее уравнение имеет вид:

V_L+V_R+V_C=V_S, (15.12) где V_s есть ЭДС источника. Подставляя (15.11) в (15.12), получим

(15.13)

где

Q – заряд (в кулонах); R- сопротивление (Омы); С- емкость (в фарарах); L – индуктивность (в генри).

Видно, что вид уравнения (15.13) для последовательной RLC -цепи совпадает с уравнением (15.10) для гармонического осциллятора с затуханием.

Теперь перейдем к моделированию и численному решению приведенных выше уравнений. Поскольку уравнения (15.10) и (15.13) имеют одинаковый вид, достаточно решить одно из этих уравнений. Для моделирования колебаний хорошо подходит уже известный нам алгоритм Эйлера - Кромера. В программе с помощью алгоритма Эйлера - Кромера необходимо вычислить зависимости координаты и скорости простого гармонического осциллятора от времени. Результаты вычислений необходимо вывести на экран. Сначала необходимо убедиться в том, что при надлежащем выборе шага Аt, алгоритм Эйлера - Кромера можно использовать для описания движения простого гармонического осциллятора. Поскольку нам известно аналитическое решение уравнения (15.2) для этого случая, то одно из условий выбора значений At заключается в том, что вычисленные значения должны соответствовать аналитическим результатам (15.3). Более общим условием правильности выбора значения At, не связанным с существованием аналитического решения, является условие сохранения полной энергии.