3.2. Линейная теория усилительной лбв типа о

Рассмотрим взаимодействие замедленной электромагнитной волны с прямолинейным электронным пучком, двигающимся вдоль системы в условиях приблизительного синхронизма с полем (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Общая схема усилителя прямой бегущей волны типа О: 1 – катод, 2 – анод (ускоряющий электрод), 3 – замедляющая система, 4 – коллектор, 5 – вход, 6 – выход

Процессы, протекающие в ЛБВ, в первом приближении могут быть описаны с помощью линейной теории, или теории малых амплитуд высокочастотного сигнала. Такой подход неоднократно использовался при анализе различных приборов сверхвысоких частот. Здесь под режимом малых амплитуд будем понимать случаи, когда все переменные величины, характеризующие электронный поток (скорость электронов, плотность объемного заряда, конвекционный ток пучка), много меньше постоянных составляющих тех же величин.

Движение электронов в лампе будем рассматривать только в направлении оси z(поперечное движение устранено с помощью бесконечно сильного продольного магнитного поля). Воспользуемся другими допущениями, применяемыми при упрощенном анализе приборов СВЧ, такими как моноэнергетичность электронного потока, пренебрежение расталкивающим действием пространственного заряда, пренебрежение релятивистскими поправками и квантовыми соотношениями. «Холодные» потери в ЗС и оседание электронов на ЗС также учитывать не будем.

При указанных условиях скорость электронов vи плотность объемного зарядаrв каждом сечении пучка можно записать в виде суммы постоянных и переменных составляющих

v=v₀ +v(z,t);r=r₀ +r(z,t), (3.4а)

где ₀иv₀– величины, характеризующие пучок в отсутствие высокочастотного сигнала и не зависящие от времени и от координатыz. Переменные составляющие скорости и объемного заряда имеют вид бегущих волн

v(z,t) =v₁e ^jt-Гz; (3.5)

r(z,t) =r₁e ^jt-Гz, (3.6)

причем амплитуды r₁ иv₁много меньше постоянных составляющихr₀ иv₀.

Постоянная распространения Г, входящая в выражения (3.5) и (3.6), может быть в общем случае комплексной. Эта величина может отличаться от постоянной распространенияГ₀в «холодной» ЗС за счет влияния электронного пучка.

Продольная компонента электрического поля в ЗС, взаимодействующая с электронным потоком, также имеет вид бегущей волны. Это поле должно быть самосогласованным, т. е. действие поля на пучок должно приводить к таким изменениям в движении электронов, что наведенные электронами токи как раз будут усиливать рассматриваемое поле волны. Таким образом, продольное СВЧ поле в системе может быть записано с использованием комплексных величин в виде

Е_z =E_zme^jt-Гz. (3.7)

Решение задачи взаимодействия бегущей электромагнитной волны с электронным пучком в самосогласованном поле можно разбить на три этапа. На первом этапе анализируют процесс группировки электронов под действием бегущей волны, отвлекаясь от изменений, которые вносит в систему электронный пучок. На втором рассматривают процесс усиления волны в ЗС при прохождении вдоль нее промодулированного по плотности электронного пучка. На третьем – объединяют решения первых двух этапов, учитывая, что поле является самосогласованным. Рассмотрим уравнения, получаемые на каждом этапе решения такой задачи.

3.2.1. Группировка электронного пучка под действием бегущей волны

Электроны, двигающиеся по инерции вдоль ЗС, подвергаются действию продольной составляющей ВЧ поля Е_z.Применяя к одиночному электрону обычное уравнение динамики, получим

. (3.8)

По правилам дифференцирования функций нескольких переменных, учитывая уравнение (3.5), имеем

. (3.9a)

Отбрасывая произведение малых величин, получаем

. (3.9б)

Таким образом, уравнение движения электронов позволяет вычислить переменную составляющую скорости электронов в пучке:

. (3.10)

Вычислим плотность конвекционного тока в пучке в присутствии бегущей волны. Плотность тока Jнаходим как произведение объемной плотности зарядов на их скорость. Пренебрегая произведением малых переменных составляющих, с учетом (3.5) и (3.6) получаем

J=r₀v₀ + (r₀v₁ +r₁v₀)e^jt-Гz. (3.11)

Таким образом, переменная составляющая плотности конвекционного тока в пучке равна

J(z,t) = (r₀v₁ +r₁v₀)e^jt-Гz =J₁e^jt-Гz, (3.12)

где J₁ – амплитуда плотности конвекционного тока

J₁ = r₀v₁+r₁v₀ . (3.13)

Величина v₁была определена уравнением (3.10). Поэтому для дальнейших расчетов конвекционного тока вычислим переменную составляющую плотности заряда₁.

Используя закон непрерывности заряда, с учетом одномерного характера движения электронов уравнение непрерывности будет иметь вид

,

откуда

. (3.14)

Подставляя в уравнение (3.13) величины ₁иv₁, определяемые по (3.14) и (3.10), и учитывая, что, получаем

. (3.15)

Величину будем называть электронным волновым числом, которое равно

. (3.16)

Так как на основании (3.11) величина r₀v₀ =J₀, уравнение (3.15) для переменной составляющей плотности конвекционного тока приобретает окончательный вид

. (3.17)

Отсюда, умножая обе части этого выражения на площадь поперечного сечения электронного пучка, переходим к амплитуде полного конвекционного тока

, (3.18)

где I₀– постоянная составляющая тока пучка.

Конвекционный ток электронного пучка в комплексной форме с учетом множителя e ^jt-Гz будет иметь вид

I_конв = I₁ e ^jt-Гz. (3.19)

Уравнения (3.18) и (3.19) отвечают на вопрос о действии продольного СВЧ поля бегущей волны на конвекционный ток пучка, если отвлечься от обратного действия пучка на поле волны.

3.2.2. Возбуждение бегущей волны промодулированным электронным потоком

Особенность возбуждения бегущей волны модулированным по плотности электронным потоком заключается в том, что электронные сгустки, двигаясь вдоль системы, создают в ней высокочастотные токи, которые добавляются к ранее наведенным токам на каждом новом шаге системы. В результате возникает нарастающая по амплитуде бегущая волна наведенного тока, которая, в свою очередь, создает изменяющуюся вдоль оси системы бегущую волну электрического поля.

На рис. 3.4.приведена эквивалентная схема спиральной ЗС в виде искусственной длинной линии без потерь с включенными в нее идеальными зазора. Будем считать, что высокочастотное напряжениеU,показанное на рис. 3.4, соответствует продольному напряжению синхронной волны, имеющемуся в реальной ЗС на уровне электронного потока. Фазовая скорость в эквивалентной линии должна быть равна реальной фазовой скорости, а характеристическое сопротивление должно совпадать с сопротивлением связиr_св, определенным на уровне электронного потока.

Напишем дифференциальные уравнения тока и напряжения в эквивалентной линии с учетом стороннего наведенного тока I_нав, обусловленного прохождением вдоль системы конвекционного электронного токаI_конв.

Рис. 3.4. Эквивалентная схема ЗС без потерь, пронизываемой электронным потоком

Как было показано в подразделе 1.7, при бесконечно малой ширине зазора наведенный ток численно равен конвекционному току. Направление наведенного тока определяется с учетом отрицательного заряда электронов. Таким образом, для элемента линии длиной zпри погонном сопротивленииjX₀и при погонной проводимостиjB₀имеем

, (3.20)

где I_конв – приращение конвекционного тока пучка.

Уравнения тока и напряжения в рассматриваемой линии приобретают вид

. (3.21)

Если учесть, что токи и напряжения в этих уравнениях изменяются по закону e ^jt-Гz, то получим

; (3.22)

. (3.23)

Дальнейшее решение уравнений рассматриваемой длинной линии не отличается от хорошо известного решения телеграфных уравнений. Выражая ток Iиз уравнения (3.22) и подставляя его в (3.23), находим

(3.24)

При отсутствии электронного пучка, т. е. при I_конв = 0, линия обладает «холодными» параметрами, определяющимися из условия

(3.25)

где Г₀– постоянная распространения в «холодной» линии.

Тогда уравнение (3.24) приобретает вид

(3.26)

Выразим величину Х₀, входящую в (3.26), через «холодное» волновое сопротивление эквивалентной линии. Из уравнений (3.22) и (3.23), полагаяI_конв = 0, для падающей волны имеем

(3.27)

Напряжение U, входящее в это выражение, соответствует продольному напряжению в ЗС. Поэтому отношениеимеет смысл сопротивления связиR_св, известного из теории замедляющих систем

. (3.28)

Значение R_свдолжно определяться на расстоянии от поверхности ЗС, соответствующем положению реального электронного пучка.

Решая совместно уравнения (3.25) и (3.27), определим величину Х₀и подставим ее в (3.26)

(3.29)

Это уравнение показывает, какое напряжение наводится в линии под действием модулированного по плотности конвекционного тока, если не учитывать обратного действия поля на электронный поток.

3.2.3. Совместное решение уравнений поля и конвекционного тока

Длительное синхронное движение модулированного электронного пучка и созданного им переменного электрического поля характеризуется не только действием тока пучка на поле в ЗС, но и обратным действием поля на электронный пучок. Для оценки результата такого двухстороннего взаимодействия пучка и поля необходимо решить совместно уравнения конвекционного тока (3.18) и поля (3.29).

С этой целью выразим напряжение Uчерез напряженность продольного электрического поля в ЗС. Полагая

(3.30)

можно связать амплитуду напряжения U₁c амплитудой напряженностиЕ_zmсоотношениями

. (3.31)

Подставим величину конвекционного тока, определяемого из уравнений (3.19) и (3.18), в уравнение (3.29). С учетом (3.30) и (3.31) получаем дисперсионное уравнение ЛБВ в виде

(3.32)

Уравнение (3.32) – это уравнение четвертой степени относительно постоянной распространения Гволны в ЗС с учетом взаимодействия (в горячей системе). Характеристическое уравнение можно решить аналитически, если предположить, что коэффициент распространенияГв горячей системе мало отличается от коэффициента распространенияГ₀в холодной системе, т. е.

(3.33)

где – малая величина. Поэтому имеет смысл подробнее проанализировать характеристическое уравнение (3.32) при близких значенияхГ,Г₀и.

Рассмотрим частный случай, когда фазовая скорость в холодной системе равна скорости электронов, т.е. в холодной системе имеется точный синхронизм v₀ =v_ф. Тогда

. (3.34)

Подставим значения ГиГ₀в уравнение (3.32)

(3.35)

Произведя преобразования и пренебрегая малыми величинами, получаем уравнение

(3.36)

Обозначим через Сбезразмерный параметр усиления, равный

(3.37)

Полагая можно записать решение для величиныв виде

. (3.38)

Уравнение (3.38) совместно с (3.33) определяет постоянную распространения волны в ЗС в присутствии электронного потока. Величина имеет три значения:

(3.39)

Подставляя найденные значения ₁,₂и₃в уравнение (3.38) и используя (3.33), получаем постоянные распространения трех волн в виде

;

; (3.40)

.

Следовательно, по ЗС в присутствии электронного потока в принятом приближении могут распространяться три волны, имеющие одинаковую структуру поля, но различные постоянные распространения.

В общем случае постоянные распространения ГиГ₀следует считать комплексными

(3.41)

Тогда постоянные распространения трех волн в присутствии электронного потока оказываются равными

(3.42)

(3.43)

(3.44)

Таким образом, из этих выражений видно, что фазовые постоянные первых двух бегущих волн ₁и₂превышают постоянные₀ и_эл., а это означает, что обе волны имеют фазовые скоростиv_ф1иv_ф2меньше скорости электронного пучкаv₀,т.е.

(3.45)

Третья волна, наоборот, имеет несколько большую фазовую скорость.

Таким образом, первая волна двигается немного медленнее электронов и имеет положительное затухание (). Вторая волна также двигается медленнее электронов, но обладает отрицательным затуханием () и экспоненциально нарастает с расстоянием. Третья волна является незатухающей (), двигается несколько быстрее электронов и не изменяет своей амплитуды. Для работы усилительных ЛБВ наибольший интерес представляет вторая волна, амплитуда которой растет вдоль линии по экспоненциальному закону.

3.2.4. Уравнение коэффициента усиления ЛБВ

Для определения коэффициента усиления ЛБВ воспользуемся выражением для продольной составляющей напряженности электрического поля второй волны. В соответствии с (3.7) и (3.43) напряженность поля второй волны в отсутствие потерь изменяется по закону

(3.46)

где – напряженность поля второй волны на входе ЗС.

Обозначим через lгеометрическую длину ЗС вдоль оси лампы, а через– напряженность поля второй волны на выходе системы. Тогда при неизменном вдоль оси лампы сопротивлении связи коэффициент усиления рассматриваемой волныК₂можно записать в виде

(3.47)

Подставим в уравнение (3.47) величину Е_z2(3.46)

(3.48)

Вместо электронного волнового числа _элздесь удобно подставить фазовую постоянную₀«холодной» ЗС, равную. Согласно уравнению (3.34) имеем

(3.49)

где – длина замедленной волны в «холодной» ЗС. Таким образом, усиление ЛБВ с учетом одной нарастающей волны равно

, (3.50)

где N– число замедленных длин волн, укладывающихся вдоль «холодной» ЗС

. (3.51)

В действительности СВЧ сигнал, поданный извне на вход ЛБВ, возбуждает не только нарастающую волну, но и две другие найденные волны. Эти волны, не участвуя в усилении сигнала, создают начальные потери на входе лампы, которые поровну распределяются между тремя этими волнами, т. е. начальные амплитуды волн равны

. (3.52)

С учетом этих потерь формула для коэффициента усиления ЛБВ в линейном режиме выглядит следующим образом

. (3.53)

Проведенные расчеты справедливы только для линейного режима малого сигнала, когда переменные составляющие всех величин остаются малыми в сравнении с постоянными составляющими. Теория ЛБВ для случая больших амплитуд требует решения громоздких нелинейных дифференциальных уравнений.