ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ

Министерство образования и науки российской федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»

Математическая статистика

на автомобильном транспорте

Методические указания к выполнению контрольной работы

Направление подготовки: 190700 «Технология транспортных процессов»

Профиль : «Организация перевозок и управление на автомобильном транспорте»

Санкт-Петербург

2012

1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Предположим, что некоторая величина Xможет принимать значенияx₁, x₂, …,x_nв зависимости от некоторых случайных факторов, так что этим значениям можно сопоставить вероятностиp₁, p₂, …, p_n. Такая величина называетсяслучайной величиной (СВ). Свои значения СВ принимает случайным образом.

Рассмотрим два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные (изолированные) значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

случайная величина называется непрерывной, если она принимает значения, которые сплошь заполняют некоторый интервал.

Значения функции P(X = x_i) = p_i,i = 1, 2,…, называются рядом распределения вероятностей дискретной случайной величиныX.

Законом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в верхней строке которой указаны возможные (различные) значения случайной величины X(в порядке возрастания), а в нижней строке под каждым значениемx_i– соответствующая вероятностьp_i = P(X = x_i), причем .

Все свои значения случайная величина Хпринимает с некоторыми вероятностями, используя которые образуют закон распределения для СВХ:

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Графически ряд распределения представляется в виде полигона распределения, причем по осиOXоткладывают отдельные значения величиныX, а по осиOY – соответствующие им вероятности. Полученные, таким образом точки с координатами (x_i, p_i), где, соединяют прямыми (рис.1).

Интегральной функцией распределения случайной величиныXназывается функцияF(x), выражающая вероятность того, чтоXпримет значение меньшее, чем заданноеx:

.

Следствие:.

Функция F(x) – неубывающая функция (F(x₂)≥ F(x₁), еслиx₂ ≥x₁), кроме того,F(–∞) = 0, F(+∞) = 1. Для непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна и рассматривается ее производная , которая называетсяплотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения. Плотность любой случайной величины неотрицательна и обладает свойствами:

1);

2).

Рис.1. Полигон распределения

График дифференциальной функции распределения вероятностей называют кривой распределения. Интегральная функция распределенияF(x) выражается через функцию плотностиf(x) следующим образом:

.

Для непрерывной случайной величины вероятность принятия некоторого конкретного значения P(x = a) = 0. Тогда

.

Если непрерывная случайная величина , тои(условия нормировки). Для дискретной случайной величины функция распределения кусочно-постоянна и ступеньки (величины скачков) равны накопленным вероятностямp₁, p₁ + p₂, p₁ + p₂ + p₃, … (рис.2).

Пример 1. Непрерывная случайная величинаXзадана функцией распределения:

Найти параметры aиb, плотность и вероятность попадания случайной величины в интервал (1,5; 3).

Решение. По условиям нормировки:F(1) =a+b= 0 иF(2) = 4a+b= 1, т.е.a= 1/3 иb= –1/3. Тогда функция распределения и ее плотность:

Следовательно, получим

P(1,5 <x< 3) =F(3) –F(1,5) = 1 – 1/3(9/4 – 1) = 7/12.

Математическое ожидание или среднее значение случайной величиныXесть величина, вычисляемая для дискретной и непрерывной случайных величин по формулам, соответственно:

.

Дисперсия случайной величиныX – это математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

.

Дисперсия для дискретной и непрерывной случайной величин, соответственно:

;

.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X– это квадратный корень из ее дисперсии:

Пример 2. Пусть заданное распределение имеет вид

xi	1	3	4	6
pi	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Математическое ожидание

= 10,2 + 30,3 + 40,4 + 60,1 =

 = 0,2 + 0,9 + 1,6 + 0,6 = 3,3.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение:

= 10,2+90,3+160,4+360,1 –

– 3,3² = 0,2+2,7+6,4+3,6-3,3² = 2,01;

.

Пример 3. Для случайной величиныXиз примера 10 найти среднее квадратичное отклонение.

Решение.Математическое ожидание (см. пример 10)

.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение:

.

Дискретная случайная величина Xназывается распределенной побиномиальному закону, если ее возможные значения равны 0, 1, 2, …,n, а вероятность того, чтоX = m, выражается формулой Бернулли:

,

где случайная величина X– число появлений некоторого событияAвnиспытаниях;p – вероятность появления событияAв каждом испытании, не изменяющаяся от испытания к испытанию, 0< p < 1; q – вероятность отсутствия события A в каждом испытании, q = 1 – p.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по биномиальному закону:

M(X) = np; D(X) = npq.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения равны 0, 1, 2, …, m,…, а вероятность того, что X = m, выражается формулой:

где a– параметр закона Пуассона,a> 0.

Как было показано ранее, по этой формуле вычисляются вероятности редких событий, т.е. вероятность появления события A mраз при большом числе испытанийn, в каждом из которых вероятностьp появления событияAмала (p 0,1), однако, произведениеnp=aпостоянно. Математическое ожидание и дисперсия случайной величиныX, распределенной по закону Пуассона,

M(X) = a;D(X) = a.

Непрерывная случайная величина X называетсяравномерно распределеннойна отрезке [a,b], если ее плотность распределения вероятностей постоянна (т.е. все значения на отрезке случайной величиныXравновозможны):

Математическое ожидание и дисперсия СВ, равномерно распределенной на (a,b):

.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону,если ее плотность распределения вероятностей равна:

,

где a – математическое ожидание;² – дисперсия; – среднее квадратичное отклонение случайной величины X(a, – параметры нормального распределения).

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал (,):

,

где – функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше постоянного числа , равна:.

Следствие.Правило «трех сигм»:.

Пример 4. Случайная величинаX распределена по нормальному закону с параметрамиa = 2,= 5.

Найти вероятность того, что случайная величина Xпримет значение в интервале (1, 4).

Решение. По условию = 1,  = 4, a = 2, = 5. Тогда