Пример 5.1.5

Мультипликативная функция

является однородной. Эффект от расширения производства отрицателен т.к. .∎

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1) Дайте определение производственной функции.

2) Запишите формулу функции Кобба-Дугласа.

3) Дайте определение предельной производительности ресурса и ее экономический смысл.

4) Дайте экономический смысл вогнутости производственной функции.

5) Дайте определение однородности производственной функции.

5.2. Характеристики производственных функций

Изучаемые вопросы:

• Коэффициенты эластичности.

• Изокванты производственных функций.

• Предельная норма замены.

Коэффициентом эластичности выпуска Y = f(x₁, x₂) по 1-му ресурсу называется величина

(5.2.1)

Коэффициент эластичности E₁ показывает, на сколько процентов изменяет-ся выпуск продукции при изменении 1-го ресурса на 1 %.

Коэффициентом эластичности выпуска по 2-му ресурсу называется величина

(5.2.2)

Экономически коэффициент эластичности E₂ показывает, на сколько процентов изменяется выпуск продукции при изменении 2-го ресурса на 1 %.

Пример 5.2.1

Найдем коэффициенты эластичности мультипликативной функции

Из примера 5.1.3. следует, что частная производная по затратам капитала равна

Отсюда коэффициент эластичности по капиталу равен

_{т.е. равен показателю степени 1/2 переменной K.}

Экономически коэффициент эластичности по капиталу Е_К = 0,5 показывает, что при изменении стоимости основных фондов на 1 %. выпуск продукции возрастет 0,5 %.

Из примера 5.1.4 следует, что частная производная по затратам труда равна

.

Отсюда коэффициент эластичности по затратам труда равен

_{т.е. равен показателю степени 1/4 переменной L.}

Экономически коэффициент эластичности по затратам труда Е_L = 0,5 показывает, что при изменении фонда заработной платы на 1 % выпуск продукции возрастет 0,25 %.

В общем случае можно доказать, что для мультипликативной функции

,

коэффициент эластичности по 1-му ресурсу равен E₁ = ₁, а коэффициент эластичности по 2-му ресурсу равен E₂ = ₂.

Изоквантой производственной функции называется совокупность всех затрат ресурсов ,использование которых в производстве приводит к одинаковому объему выпуска в Y₀ единиц т.е.

(5.2.3)

При различных уровнях производства Y₀ уравнение (5.2.3) определяет карту изоквант на плоскости. 

Пример 5.2.2

Допустим, что стоимость выпуска продукции Yзависит от стоимости затрат трудаKи основных фондовL

Пусть стоимость основных фондов равна K = 640 000 = 8² 100² руб., а стои-мость фонда заработной платы – L=810 000= 3⁴ 10⁴ руб. Тогда стоимость выпус-ка продукции Y составит

По определению изокванты равенство

определяетстоимости затрат труда L и основных фондов K, при которых стоимость выпуска продукции равна 24 000 000 руб.

Допустим, что увольнение части рабочих привело к уменьшению фонда заработной платы на 10 000 руб. На какую сумму нужно увеличить стоимость основных фондов, чтобы стоимость выпуска продукции оставалась прежней ?

Для сохранения стоимости выпуска продукции 24 000 000 руб. стоимость основных фондов должна составлять K = 643 857 руб. Таким образом, при уменьшении фонда заработной платы на

ΔL = -10 000 руб.

стоимость основных фондов необходимо увеличить на

руб.

Следовательно, уменьшение фонда заработной платы на 1 руб. требует увеличения стоимости основных фондов на величину

Затраты ресурсов K = 640 000 руб., L = 810 000 руб. и K = 643 857 руб., L = 800 000 руб. приводят к стоимости выпуска продукции 24 000 000 руб.

Это означает, что на плоскости 0KL точки

A = (640 000, 810 000) и B=(643 857, 800 000)

лежат на изокванте с уравнением

Уменьшение фонда заработной платы на ΔL =10 000 руб. графически означает переход точки A в точку B. 

Предельная норма замены

Наличие затрат ресурсов, приводящих к одинаковому выпуску продукции, означает возможность для производителя замены одного набора ресурсов другим равноценным набором. Количественной мерой такой замены служит предельная норма замены.

Предельной нормой замены 1–го ресурса 2-ым ресурсом называют величину

(5.2.4)

Предельная норма замены R₁₂ показывает, на сколько единиц нужно уменьшить (увеличить) количество второго ресурса при увеличении (уменьшении) первого ресурса на единицу, чтобы выпуск остался неизменным.

Найдем предельную норму замены труда основными фондами для мультипликативной функции

Частные производные по затратам труда и капитала равны

, .

По определению предельная норма замены труда основными фондами равна

(5.2.5)

Для сохранения объема выпуска продукции уменьшение численности работников на 1 человека приводит к увеличению основных фондов приблизительно на величину

Допустим, что производитель принимает решение заменить набор ресурсов K, L на равноценный ему набор, в котором фонд труда будет равен L+ΔL. Тогда для сохранения выпуска основные фонды нужно изменить приблизительно на величину

Δ K - R_LK Δ L. (5.2.6)

Аналогично, предельная норма замены основных фондов трудом равна

(5.2.7)