12.Где используется понятие непрерывности при выводе правила дифференцирования сложной функции?

13.Выведите формулы для нахождения производных функций: xα , где

αR , ax , где a ≠1, a > 0 .

14.Выведите правило нахождения производных обратных функций.

15.Выведите формулы для нахождения производных функций: arcsin x , arccos x , arctg(x) , arcctg(x) .

16.На чем основан метод логарифмического дифференцирования? Приведите примеры его использования.

17.Дайте определения производных и дифференциалов высших порядков.

18.Выведите формулы для нахождения производных первого и второго порядка от функций, заданных параметрически.

Заключение

Данное учебное пособие является первым в серии пособий по курсу введение в математический анализ.

Впособии даны определения основных понятий и определения математического анализа, таких как: множества, функция, производная, дифференциал, предел и другие. Эти понятия являются фундаментальными для всего курса математики и поэтому так важно их освоение. Все эти понятия используются в других дисциплинах, которые студенты будут изучать на следующих курсах.

Впособие приведены вопросы для самоконтроля ко всем главам. Правильные ответы на них будут способствовать полноценному усвоению материала.

Библиографический список

1.Шепелявая, Н.Б. Введение в математический анализ. Учеб. пособие /Н.Б.Шепелявая. - СПб.: СЗТУ, 2006.

2.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. T.I /Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1985-2002.

3.Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление/Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - М.: Наука, 1988-2000.

4.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1 /П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высш. школа, 1990.

5.Кальницкий, Л.А. Дифференциальное исчисление функций одной переменной /Л.А.Кальницкий. - СПб.: СЗПИ, 1977.

77

Глоссарий

Бесконечно большой называется функция f (x) в точке a (или при

x → a ), если lim f (x) = ∞.

x→a

Бесконечно малой называется функция α(x) в точке a (или при

x → a ), если limα (x)= 0.

x→a

1

Второй замечательный предел lim(1+ x)x = e.

x→0

Дифференциалом функции y = f (x) в точке называется произведение f '(x0 ) x , представляющее собой линейную относительно x часть приращения функции в точке x0 и обозначается одним из символов dy

или df (x0 ).

Дифференцирование функции – нахождение производной и дифференциала этой функции.

		Замена бесконечно	малых эквивалентными. Если функции
α1		(x),α(x),β1 (x),β(x)	бесконечно			малы	при x → a, причем
α		(x) α(x),β (x) β(x) , то lim		α1	(x)	= lim	α (x)	.
				β	(x)
	1	1	x→a			x→a	β (x)
				1

Конечной или бесконечной называется производная f ′(x0 ) в зави-

симости от того, конечен или бесконечен предел.

Логарифмическим дифференцированием называется прием пред-

варительного логарифмирования, который был использован при получении формулы дифференцирования степенной функции (имеет самостоятельное значение) и в совокупности с последующим нахождением производной логарифма функции.

	Необходимое и достаточное условие непрерывности на языке
бесконечно малых. Функция, определенная в окрестности X,			(a X)
называется непрерывной в точке a,		если при стремлении	к нулю
x,	y также стремятся к нулю limx→0	y → 0 .

Необходимое и достаточное условие эквивалентности. Для то-

го, чтобы функции α(x) и β(x) были при x → a эквивалентными бесконечно малыми, необходимо и достаточно, чтобы разность α (x)− β (x) была бесконечно малой более высокого порядка, чем α(x) или β(x) .

Непрерывной в точке a называется функция y = f (x), если предел функции при x →a равен ее значению f (a).

78

( f (x) непрерывна в точке a ) (limx→a f (x)= f (a)).

Непрерывной на некотором открытом промежутке X (конеч-

ном или бесконечном) называется функция f (x) , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Непрерывность функция y = f (x) в точке a означает, что в этой

точке односторонние пределы существуют, равны и их значение совпадает со значением функции в точке a и выполняется равенство f (a −0)= f (a + 0)= f (a).

Односторонняя непрерывность. Если X =[a,b] - замкнутый ин-

тервал, то в его граничных точках a и b предполагается односторонняя непрерывность - правосторонняя в точке a и левосторонняя в точке b. То есть должны быть выполнены соответственно равенства

f (a +0) = f (a) и f (b −0) = f (b).

Отображение. Если даны два непустых множества X и Y. Тогда если по некоторому закону f , каждому элементу x X ставится в соот-

ветствие один и только один элемент y Y , то говорят, что задано отображение f множества X в множество Y: f : X → Y

Первый замечательный предел lim sin x =1.

x→0 x

Пределом числовой последовательности {xn} называется число a,если для любого положительного числа ε найдется такой номер N ,

зависящий от ε , что для всех n > N выполнено неравенство						xn −a		<ε.
Предел функции. Если для любого наперед заданного положитель-
ного числа ε		можно указать такое положительное число δ =δ(ε), зави-
сящее от ε ,		что из условия x Rδ (a) ( x ≠ a, если a		-число) следует
f (x) Rε ( A) , то A называется пределом функции f (x)				в точке a (или
при x , стремящемся к a).
Производной называется предел функции y = f (x)				по переменной
x в точке x0		и обозначается символом y ', yx ' или f '(x0 )		(здесь x - при-
ращение аргумента x , а y = f (x0 +			x)− f (x0 )), если при			x → 0 от-
ношение	y	стремится к конечному или бесконечному пределу.
	x
Производной n -го порядка от функции y = f (x) называется произ-
водная от производной n −1 порядка			данной функции. Производная n -
го порядка обозначается одним из символов: y(n) , f (n) (x).

79

Свойство инвариантности (независимости) формы дифференциала y = f (u) по отношению к аргументу имеет точно такой же вид и в том случае, если бы аргумент u был не функцией, а независимой переменной.

Связь бесконечно малой и бесконечно большой. Если α(x) - бес-

конечно малая в точке a , то функция α(1x) - бесконечно большая в этой

	точке; если f (x) - бесконечно большая в точке a , то		1	- бесконечно
		f	(x)
	малая.
	Скачком называется разность f (a + 0) − f (a −0) =			a f функции
	f (x) в точке a .

Сравнение произведения. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждый из сомно-

жителей. При x → a функции α =α(x) и β = β(x) - бесконечно малы

то, сравнивая их, получим
lim	α (x) β (x)		= lim β (x)= 0;	lim	α (x) β (x)	= limα (x)= 0.
					α (x)
x→a	α (x)		x→a	x→a		x→a
Точкой бесконечного разрыва называется a , если по крайней мере
один из пределов		f (a − 0), f (a + 0) бесконечен.
Точкой разрыва называют конечную точку a функции f (x) , если
функция	f (x) определена на множестве X ‚ {a} , где X некоторая ок-

рестность точки a и в этой точке не выполняются условия непрерывности функции f (x) .

Точкой разрыва 1-го рода называют точку разрыва a функции f (x) , если оба односторонних предела f (a − 0) и f (a + 0) существу-

ют и конечны.

Точкой разрыва 2-го рода называется точка разрыва a функции f (x) в том случае, если по крайней мере один из односторонних преде-

лов f (a −0), f (a + 0) бесконечен или не существует.

Точкой устранимого разрыва называется a , если a f = 0 .

Функция. Пусть Χ R и Y R два непустых числовых множества. Тогда, если по некоторому закону (правилу) f каждому числу x X

ставится в соответствие одно и только одно значение y Y , то говорят,

что задана однозначная функция y = f (x).

80