metodichka sopromat 1 sem

зовнішні сили. Довжина стрибка на епюрі повинна бути чисельно рівною зовнішній силі, яка прикладена в цьому перерізі.

Правило перевірки епюри l:

Епюра l перевіряється з допомогою епюри N. У закріпленому перерізі переміщення l дорівнює нулю. Починаючи від закріпленого перерізу значення на епюрі l збільшуються, якщо на епюрі N знак «+», якщо ж на епюрі N знак «–», тоді значення на епюрі l зменшуються. У випадку коли на ділянці N = 0, тоді на епюрі l значення не змінюються.

Приклад 1

Сталевий брус (рис.6.1) знаходиться під дією сили Р і власної ваги (γ=77 кН/м3). Знайти переміщення перерізу І-І.

Прийняти: модуль поздовжньої пружності сталі Е=2·105 МПа,

Р = 1,7 kН, а = 2,68 м, b = 2,82 м, c = 1,31 м, F1 = 20 см2, F2 = 30 см2. z

a
b		P
	I			I
с				F1

F2

Рис.6.1 – Брус обтяжений силою Р і власною вагою

Розв’язання:

1)Визначимо вагу кожної ділянки як добуток об’єму V та питомої ваги γ:

Q = V × γ = l × F × γ ,

(6.5)

де l – довжина ділянки,

F – площа поперечного перерізу. Тоді

Q		=	a × F × γ = 2,68м × 0,003м2 × 77	kН	= 0,619 кН ,
	a
			2	м3
Qb		=	b × F2 × γ = 2,82 × 0,003 × 77 = 0,651 кН ,
Qc		=	c × F1 × γ = 1,31 × 0,002 × 77 = 0,201 кН .

(Власну вагу окремої ділянки можна розглядати як рівнодійну силу що

прикладена до її центра маси.)

2) Брус розтягнутий, тому що сила Р і сила ваги поздовжні та спрямовані від закріплення. Видовження ділянок можна визначити скориставшись законом Гука (6.4).

Ділянка b видовжується вагою Qc як зовнішньою силою і силою власної ваги Qb:

Dlb

=

Qc × b

+

Qb

× 0,5b

.

(6.6)

E × F2

E × F2

Ділянка довжиною а буде видовжуватись під впливом сил Р, Qb та Qc,

а також під впливом власної ваги Qа :

D la

=

(P + Qb + Qc )× a

+

Qa

× 0,5a

.

(6.7)

E

× F2

E × F2

3)

Оскільки верхній переріз

брусу

нерухомий,

тоді через

видовження

ділянок a і b переріз І-І опускатиметься вниз. Визначимо його переміщення як суму видовженнь (6.6 - 6.7):

D l I −I	= D la + D lb =	(P + Qb	+ Qc )× a + 0,5 ×Qa × a + Qc				×b + 0,5 ×Qb	×b
									,
						E × F2
D l I −I	= (1700 + 651+ 201+ 0,5 ×619)Н ×2,68м + (201+ 0,5 ×651)Н × 2,82м =
			2 ×1011	H		×0,003м2
				м	2

= 1,53×10 −5 м = 0,0153 мм.

Приклад розв’язано.

Питання для самоперевірки

1.Яка деформація називається розтягом-стиском?

2.Правило знаків поздовжньої сили N.

3.Метод перерізів. Як ним користуватися?

4.Що називається епюрою внутрішнього зусилля?

5.Що називається допускним напруженням? Небезпечні напруження для сталей і чавунів при розтягу-стиску.

6.Умова міцності при розтягу-стиску.

7.	Закон Гука для абсолютного подовження бруса l. Які величини в нього
	входять?
8.	Правила перевірки епюри N і епюри l.

Кручення

Кручення – простий вид деформації, при якому в поперечному перерізі вала виникає тільки одне внутрішнє зусилля МКР (крутний момент).

Крутний момент у поперечному перерізі виникає внаслідок дії на вал зовнішнього зусилля закручувального моменту (МЗАК ).

Правило знаків закручувального моменту:

-МЗАК додатний, якщо при погляді в торець відсіченої частини вала він спрямований проти годинникової стрілки;

-МЗАК від’ємний, якщо при погляді в торець відсіченої частини вала він спрямований за годинниковою стрілкою.

Умова міцності при крученні:
		τmax =	M KР	≤ [τ],	(6.8)
			WP
де τmax	-	максимальне тангенційне напруження, [Па];
[τ ]	-	допускне тангенційне напруження при крученні, [Па];
МКР	-	крутний момент, [H ·м];
WP	-	полярний момент опору перерізу, [ м3].

Повний кут закручування (абсолютна деформація при крученні):

ϕ =	M	КР	× l
				,	(6.9)
	G × I P

де МКР - крутний момент, [H ·м]; l - довжина ділянки, [м];

G - модуль пружності 2-го роду (модуль зсуву), [Па]; IP - полярний момент інерції перерізу, [ м4].

Відносний кут закручування:

θ = ϕ ,	(6.10)
l

де φ - повний кут закручування, [рад]; l - довжина ділянки, [м].

Умова жорсткості при крученні:

θmax =

M KР

£ [θ],

(6.11)

G × I P

де θ

- максимальний відносний кут закруту,

рад

;

max

м

[θ ]

- допускний відносний кут закруту,

рад

;

м

МКР

- крутний момент, [H ·м];

G

- модуль пружності 2-го роду (модуль зсуву), [Па];

IP

- полярний момент інерції перерізу, [ м4].

	Стандартний ряд діаметрів, мм:
1 5 ,	1 6 ,	1 7 ,	1 8 ,	1 9 ,	2 0 ,	2 1 , 2 2 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 8 , 3 0 , 3 2 , 3 4 , 3 6 , 3 8 ,
4 0 ,	4 5 ,	5 0 ,	6 0 ,	7 0 ,	8 0 ,	9 0 , 1 0 0 , 1 1 0 , 1 2 5 , 1 4 0 , 1 6 0 , 1 8 0 , 2 0 0 .

Правило перевірки епюри МКР:

Епюра МКР перевіряється за розрахунковою схемою. Стрибки на епюрі МКР повинні бути в тих перерізах, у яких на розрахунковій схемі прикладені

закручувальні моменти. Довжина стрибка на епюрі повинна чисельно дорівнювати закручувальному моменту, прикладеному в цьому перерізі.

Правило перевірки епюри φ:

Епюра φ перевіряється з допомогою епюри МКР. Якщо на ділянці МКР = 0, тоді φ не змінюється. Починаючи з лівого краю значення на епюрі φ зростають, якщо на епюрі МКР знак «+»; якщо ж на епюрі МКР знак «–», тоді значення на епюрі φ зменшуються.

Приклад 2

До сталевого вала (рис.6.2) прикладено три відомі закручувальні моменти М1, М2, М3. Необхідно:

1)установити при якому значенні закручувального моменту Х кут повороту правого кінцевого перерізу вала дорівнює нулю;

2)побудувати епюру крутних моментів;

3) при заданому значенні [τ] визначити діаметр вала з умови міцності та округлити його значення до найближчого більшого: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

4)побудувати епюру кутів повороту;

5)знайти найбільший відносний кут закручування.

Прийняти: модуль зсуву сталі G = 8 ·104 МПа, [τ] = 40 МПа.

М1 = 1,2 kНм М2 = 1,1 kНм М3 = 1,9 kНм Х

z

a = 1,2 м b = 1,1 м

c = 1,9 м

a = 1,2 м

Рис.6.2 – Вал обтяжений закручувальними моментами

Розв’язання:

1) Позначимо (рис.6.3) характерні перерізи (A, B, C, D, E) і пронумеруємо ділянки вала (I, II, III, IV).

A		B	C		D	E
	I	II		III		IV
		M1 = 1,2 kHм		M2 = 1,1 kHм	M3 = 1,9kHм Х = 1,276 kHм
						Z

	a = 1,2м b = 1,1м									c = 1,9м						a = 1,2м
		0,476								1,276										1,276
0										0,476										0	Еп МКР
																					kНм
																0,624
										0,624
0,724		0,724
0																				0 Еп φ
																					рад
									0,00333
		0,00838
															0,01477

Рис. 6.3 – Розрахункова схема вала та епюри крутних моментів

ікутів повороту перерізів

2)Складемо рівняння для визначення крутних моментів на кожній ділянці вала користуючись методом перерізів.

Умовно розсікатимемо вал на дві частини по черзі на кожній ділянці (наприклад, АВ). Відкидатимемо частину з жорстким закріпленням (рис.6.4), щоб не враховувати опорні реакції, які там виникають. Визначатимемо крутний момент як суму закручувальних моментів, прикладених до тієї частини вала,

що залишилася. Напрямок (знаки) крутних моментів, будемо визначати при погляді в торець відсіченої частини.

	Х	Z
	М3
	М2
	М1
напрямок	торець відсіченої
погляду	частини

Рис. 6.4 – Визначення крутного моменту на ділянці АВ методом перерізів

Ділянка АВ:	МКРAB = – М1 + М2 – М3 + Х.	(6.12)
Ділянка ВС:	МКРBC = + М2 – М3 + Х.	(6.13)
Ділянка CD:	МКРCD = – М3 + Х.	(6.14)
Ділянка DE:	МКРDE = + Х.	(6.15)

3) Визначимо, при якому значенні моменту Х кут повороту правого кінцевого перерізу вала дорівнює нулю.

Кут закручування на окремій ділянці можна визначити за формулою (6.9). Кут повороту правого кінцевого перерізу Е вала визначимо як алгебраїчну суму кутів закручування ділянок, розташованих між розглянутим перерізом Е та нерухомим перерізом А. Оскільки за умовою задачі кут повороту правого кінцевого перерізу вала дорівнює нулю, одержимо:

ϕAB +ϕBC +ϕCD +ϕDE = 0 ,

(6.16)

або з урахуванням формули (6.9):

М AB a	+	М BC b	+	М CD c	+	М DE	a	= 0 ,	(6.17)
КР		КР		КР		КР
G I p		G I p		G I p		G I p

де lAB=a=1,2 м; lBC=b=1,1 м; lCD=с=1,9 м; lDE=a=1,2 м.

Помножимо ліву і праву частини рівняння (6.17) на GIp , тоді одержимо:

М AB a + М BC b + М CD c + М DE a = 0 ,				(6.18)
КР	КР	КР	КР
або з урахуванням виразів (6.12 – 6.15):
( X - M 3 + M 2 - M1 ) × a + ( X - M 3 + M 2 ) × b + ( X - M 3 ) × c + X × a = 0 ,				(6.19)
X (a + b + c + a) - M 3 (a + b + c) + M 2 (a + b) - M1a = 0				(6.20)

Розв’яжемо рівняння (6.19 – 6.20), підставивши значення закручувальних моментів і довжину ділянок. Одержимо Х=1,276 кНм.

4)Підставивши Х=1,276 кНм до рівнянь (6.12 – 6.15), визначимо величину

крутних моментів (МКРAB = – 0,724 кНм, МКРBC = + 0,476 кНм, МКРCD = = – 0,624 кНм, МКРDE = + 1,276 кНм) . За отриманими результатами побудуємо епюру крутних моментів МКР (див.рис. 6.3).

Вісь епюри паралельна до осі вала. На ній значення МКР дорівнюють нулю. Додатні значення відкладемо вгору від осі, від’ємні – вниз. На епюрі необхідно показати знаки і заштрихувати її перпендикулярно до осі.

(Епюру МКР легко перевірити за розрахунковою схемою. На вільний край вала діє зовнішній закручувальний момент, Х = 1,276 kHм, тому на епюрі в перерізі Е виникає стрибок завдовжки 1,276. У перерізі D прикладений зовнішній закручувальний момент, М3 = 1,9 kHм, тому на епюрі виникає

стрибок завдовжки 1,276–(– 0,624)		= 1,9.	У перерізі С	прикладений
М2	= 1,1 kHм – на епюрі стрибок завдовжки 1,1. У перерізі В прикладений
М1	= 1,2 kHм – на епюрі стрибок завдовжки 1,2. Стрибок у перерізі А завдовжки
0,724 викликаний дією реактивного		моменту,	який виникає	у жорсткому

закріпленні та дорівнює відповідно 0,724 kHм.)

Як випливає з епюри MKP, при однаковому діаметрі, найнебезпечнішою

буде ділянка DE.

5)	Визначимо діаметр вала з умови міцності при крученні				(6.8).
Оскільки для круглого перерізу полярний момент опору:
	WP = πd 3			» 0,2d 3 ,	(6.21)
	16
де d –	діаметр вала, тоді із (6.8) з урахуванням (6.21) випливає:
		M KР	£ [τ].		(6.22)
		0,2 d 3

Для визначення діаметра вала підставимо до формули (6.22) максимальний (за абсолютним значенням) крутний момент, тоді:

d ³ 3

M KР

max

=

3

1,276 ×103 Н × м

= 0,054м = 54мм .

0,2[τ

]

0,2 × 40 ×106

Н

м2

Отриману величину необхідно округлити до найближчого більшого значення зі стандартного ряду діаметрів. Приймемо d = 60 мм.

6) Визначимо величину повних кутів закручування (6.9) на кожній ділянці вала. Оскільки для круглого перерізу полярний момент інерції:

I P = πd 4	» 0,1d 4 ,	(6.23)
32

де d – діаметр вала, тоді із (6.9) з урахуванням (6.23) випливає:

		ϕ =	M КР × l		.	(6.24)
			G × 0,1× d 4
	ϕAB =	- 0,724 ×103 ×1,2				= - 0,00838 рад .
		8 ×104 ×106 × 0,1(60 ×10−		3 )4

	ϕBC =	0,476 ×103	×1,1	= 0,00505		рад.
		8 ×104 ×106 × 0,1(60 ×10−3 )4
	ϕCD =	- 0,624 ×103 ×1,9			= - 0,001144 рад.
		8 ×104 ×106 × 0,1(60 ×10−3 )4
	ϕDE =	1,276 ×103	×1,2		= 0,01477	рад.
		8 ×104 ×106 × 0,1(60 ×10−3 )4
7)	Визначимо кути повороту характерних перерізів вала.

Переріз А – жорстко закріплений, тому він не повертається:

φА = 0.

Між нерухомим перерізом А і перерізом В розташована перша ділянка, тому кут повороту перерізу В дорівнює куту закручування ділянки АВ:

φВ = φАВ = – 0,00838 рад.

Між нерухомим перерізом А і перерізом С розташовані перша і друга ділянки, таким чином кут повороту перерізу С дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування ділянок АВ і ВC (з урахуванням знака):

φС = φАВ + φВС = – 0,00838 + 0,00505= – 0,00333 рад.

Між нерухомим перерізом А і перерізом D розташовані перша, друга і третя ділянки, таким чином кут повороту перерізу D дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування ділянок АВ, ВС і CD (з урахуванням знака):

φD = φАВ + φВС +φСD = – 0,00838 + 0,00505 – 0,01144 = – 0,01477 рад.

Поворот вільного краю Е буде дорівнювати алгебраїчній сумі кутів закручування всіх ділянок вала:

φЕ = φAB + φBC +φCD + φDE = – 0,00838+0,00505 – 0,01144+0,01477 = 0 рад

8)За отриманими результатами побудуємо епюру кутів повороту φ.

Вісь епюри паралельна осі вала. На осі епюри значення φ дорівнюють

нулю. Додатні значення відкладемо вгору від осі, від’ємні – вниз. На епюрі необхідно показати знаки і заштрихувати перпендикулярно осі.