metodichka sopromat 1 sem

(Епюру φ легко перевірити за епюрою МКР. На ділянці АВ на епюрі МКР

знак «–», тому значення φ зменшуються (з 0 до – 0,00838). На ділянці ВС МКР > 0, тому значення φ збільшуються (з – 0,00838 до – 0,00333). На ділянці CD МКР < 0, тому значення φ зменшуються (від – 0,00333 до – 0,01477) і на ділянці DE на епюрі МКР знак «+», тому значення φ ростуть (з – 0,01477 до 0).

9)

Визначимо величину максимального відносного кута закручування

підставивши (6.9) до виразу (6.10), тоді:

θmax

=

M KP

max

,

(6.25)

G × I P

або з урахуванням (6.23)

θmax

=

M KР

max

.

(6.26)

G

× 0,1d 4

θmax =

1,276 ×103 Нм

= 0,012

рад

.

Н

× 0,1× (0,06м)4

8 ×104 ×106

м

2

м

Приклад розв’язано.

Питання для самоперевірки

1.Що називається крученням?

2.Правило знаків закручувальних моментів.

3.Формула для визначення повного кута закручування. Які величини до неї входять?

4.Як визначається та у яких одиницях вимірюється відносний кут закручування?

5.Умова міцності при крученні.

6.Умова жорсткості при крученні.

7.Правила перевірки епюри МКР і епюри φ.

Гнуття (згин)

При гнутті відбувається викривлення поздовжньої осі бруса.

Чисте гнуття – простий вид деформації, за якого в поперечному перерізі брусу виникає тільки один вид внутрішніх зусиль – гнучий момент.

Поперечне гнуття – вид деформації, за якого в поперечному перерізі брусу одночасно виникають два внутрішні зусилля – гнучий момент та

поперечна сила.

Брус, що працює на гнуття називають балкою.

Правило знаків гнучого моменту в горизонтальній балці:

додатний –		якщо викликає стиск верхніх волокон балки,
від’ємний –		якщо викликає стиск нижніх волокон балки.
(при додатному			гнучому моменті балка вигинається опуклістю вниз,
при від'ємному –			опуклістю вгору)
Правило знаків поперечної сили Q:
додатна –	якщо прагне повернути елемент тіла за годинниковою стрілкою,
від’ємна –	якщо прагне повернути елемент тіла проти годинникової стрілки.
(аналогічно		правилу знаків тангенційних напружень τ, оскільки

Q є результатом дії τ )

Нормальні напруження в довільній точці поперечного перерізу при гнутті:

	σ = -	M X		× y ,		(6.27)
		I X
де МX	- гнучий момент, [H· м];
IX	- осьовий момент інерції перерізу, [м4];
y	- відстань від нейтрального шару до розглянутої точки, [м].
Умова міцності при чистому гнутті:
	σmax =		M X		£ [σ ],	(6.28)
			WX

де σmax - максимальне нормальне напруження , [Па];

[σ ] - допускне нормальне напруження при гнутті, [Па];

МX - гнучий момент, [H· м];

WX - осьовий момент опору перерізу, [м3].

(у практиці міцність балок при поперечному гнутті найчастіше перевіряють за тією ж самою умовою що і при чистому гнутті, тому поперечне гнуття також прийнято вважати простим видом деформації)

Формула Журавського:

	τ =	Q × S I
		Y X	,	(6.29)
		b × I X
де τ	- тангенційні напруження в поперечному перерізі балки, [Па];
QY	- поперечна сила, [H];
IX	- осьовий момент інерції перерізу, [м4];
b	- ширина поперечного переріза в розглянутому волокні, [м];
SXI	- статичний момент частини поперечного перерізу яка відсічена

розглянутим волокном, [м3].
Теорема Журавського: перша похідна від гнучого	моменту по абсцисі z
дорівнює поперечній силі	Q =	dM	.
		dz

З теореми Журавського випливає, що починаючи з лівого краю при додатній поперечній силі Q, значення на епюрі гнучого моменту зростають. Якщо Q від’ємна – зменшуються, якщо Q = 0 – не змінюються. Зміна значень гнучого моменту на ділянці дорівнює площі епюри Q на цій ділянці.

Правило перевірки епюри QY:

Епюра QY горизонтальної балки перевіряється починаючи з лівого краю. У перерізах, де до балки прикладені зосереджені сили Р на епюрі QY повинні бути стрибки які дорівнюють цим силам. На ділянках, де на балці не діє розподілене навантаження q, поперечна сила QY постійна. На ділянках, де до балки прикладене розподілене навантаження q поперечна сила QY змінюється на величину рівнодійної сили.

Правило перевірки епюри MX:

Епюра MX горизонтальної балки перевіряється починаючи з лівого краю. У перерізах, де до балки прикладені зовнішні моменти, на епюрі MX повинні бути стрибки рівні цим моментам. На ділянках, де до балки прикладене розподілене навантаження q, епюра MX обмежена параболами з опуклістю назустріч розподіленому навантаженню.

Приклад 3

Для горизонтальної балки (рис.6.5), яка обтяжена силами Р та q, а також зовнішнім моментом М необхідно побудувати епюри внутрішніх зусиль і

встановити положення небезпечного	перерізу.	З умови міцності
за нормальними напруженнями підібрати	розміри	круглого, прямокутного

і двотаврового перерізу балки. Прийняти: матеріал сталь [σ] = 160 МПа, співвідношення висоти та ширини прямокутного перерізу h = 2b.

Розв’язання:

1)Позначимо характерні перерізи і пронумеруємо ділянки. Визначимо

довжину кожної ділянки окремо. Покажемо

реакції опор. Припустимо,

що обидві опорні реакції (RB і RD) спрямовані вгору (див.рис.6.5).

2)

Визначимо опорні реакції з умови рівноваги: сума моментів усіх сил

відносно точки опори повинна дорівнювати нулю.

Розподілене

навантаження

q замінимо рівнодійною силою,

яка прикладена в його центрі

і

яка

дорівнює

добутку його інтенсивності

та довжини (q ·b = 2q ).

b

S M B

= 2q × 1,333

-

- P × 0,666 + RD

×1,333 + M = 0 ,

2

b

- 2q × 1,333

-

+ P × 0,666 - M

2

RD =

,

1,333

RD = - 2 ×11 × (1,333 - 1)+ 28 × 0,666 - 9 = 1,75 kH . 1,333

Y

RB = 48,25 kH	P = 28 kH	RD = 1,75 kH
		M = 9 kHм

q = 11 kH/м

Z

q·b = 22 kH

b = 2 м

					а = 4 м
	а/3 = 1,333 м		а/3 = 1,333 м
A	I	B	II	C		III	D	IV	E
	1,333 м		0,666 м			0,666 м		1,333 м

33,583

26,25

0	0	0	Еп QY
			kН
1,75	1,75
14,666

10,16

9

9

Еп МX kНм

0

0

9,77

Рис.6.5 – Розрахункова схема балки та епюри поперечної сили і гнучого моменту

		b
	S M D	= 2q ×		+ 0,666	- RB ×1,333 + P × 0,666 + M = 0 ,
			2

	b
	2q ×		+ 0,666	+ P × 0,666	+ M
RB =	2					,
			1,333

RB = 2 ×11 × (1 + 0,666) + 28 × 0,666 + 9 = 48,25 kH . 1,333

Перевірка: З умови рівноваги сума проекцій усіх сил на вертикальну вісь повинна дорівнювати нулю.

S Y = - b × q + RB - P + RD = - 2 ×11 + 48,25 - 28 + 1,75 = 0 .

Умова виконується, тобто опорні реакції визначені правильно.

3) Визначимо внутрішні зусилля (поперечну силу QY і гнучий момент MX ) на кожній ділянці методом перерізів.

Ділянка АВ: Умовно розріжемо балку на ділянці АВ. Відкинемо більш громіздку (праву) частину балки. Для частини балки, що залишилася (лівої), складемо два рівняння рівноваги:

q

0,5 z1

q·z1

0 ≤ z1 ≤ 1,333

а) поперечна сила дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вертикальну вісь зовнішніх сил, прикладених до залишеної частини:

QY = - q × z1 = -11 × z1 .

(q від’ємна, бо прагне повернути частину балки, що залишилася, відносно

центра ваги перерізу проти годинникової стрілки)

b) гнучий момент дорівнює алгебраїчній сумі моментів зовнішніх зусиль (прикладених до залишеної частини) відносно центра ваги перерізу:

			z		qz	2		2 .
M	X	= - q × z ×	1	= -		1	= - 5,5 × z
		1	2		2			1

(q від’ємна, бо викликає стиск нижніх волокон)

при z1 = 0 (у перерізі А):

QY	= - 11× 0 = 0
M X = - 5,5 × 0 = 0
при z1 = 1,333 м (у перерізі В):
QY	= - 11×1,333 = - 14,66 kН
M X	= - 5,5 ×1,3332 = - 9,77 kHм

(Від’ємне значення МХ вказує на те, що в перерізі В стиснутими є нижні

волокна балки.)

Ділянка ВС: Застосуємо метод перерізів як на ділянці АВ. Тоді рівняння рівноваги відсіченої частини:

RB

q

			q·(1,333 + z2)
			1,333 м			0 ≤ z2 ≤ 0,666
а)	QY	= - q × (1,333 + z2 ) + RB ,
	QY	= - 11 × (1,333 + z2 ) + 48,25 = 33,58 - 11 × z2 .
(q	від’ємна, бо прагне повернути частину						балки, що залишилася, відносно

центра ваги перерізу проти годинникової стрілки)

			q × (1,333	+ z2 )2
b)	M X	= -			+ RB × z2 ,
			2
	M X	= - 5,5 × (1,333 + z2 )2 + 48,25z2 .

(q від’ємна, бо викликає стиск нижніх волокон)

при z2 = 0 (у перерізі В):

QY	= 33,58	-11× 0 = 33,58 kH
M X = - 5,5		× (1,333	+ 0)2 + 48,25 × 0	= - 9,77 kHм
при z2 = 0,666 м (у перерізі С ):
QY	= 33,58	-11× 0,666 = 26,25 kH
M X = - 5,5		× (1,333	+ 0,666)2 + 48,25 × 0,666 = 10,16 kHм

Ділянка CD: Застосуємо метод перерізів як на ділянках АВ та ВС, але відкинемо ліву (більш громіздку) частину балки. Рівняння рівноваги відсіченої частини:

RD М

1,333 м

0,666 ≥ z3 ≥ 0

a) QY = - RD = - 1,75 kH .

(RD від’ємна, бо прагне повернути частину балки, що залишилася, відносно

центра ваги перерізу проти годинникової стрілки)

b)	M X = + (RD × z3 )+ M = 1,75 × z3 + 9 .
	при z3 = 0	(у перерізі D ):	M X	= 1,75 × 0 + 9 = 9 kHм
	при z3 = 0,666 м	(у перерізі C ):	M X	= 1,75 × 0,666 + 9 = 10,16 kHм

Ділянка DE: Застосуємо метод перерізів як на ділянці CD.

М

1,333 ≥ z4 ≥ 0

Рівняння рівноваги відсіченої частини:

a) QY = 0 .

b) M X = +M = 9 kHм.

4)За отриманими результатами побудуємо епюри внутрішніх зусиль.

Осі епюр паралельні осі балки. Додатні значення відкладатимемо вгору

від осі, від’ємні – вниз. Поперечна сила QY на всіх ділянках описується лінійними залежностями, тому епюра QY на всіх ділянках обмежується відрізками прямих.

У формули, з яких визначали гнучий момент MX на I та II ділянках, координата z входить у другому степені, тому епюра MX на цих ділянках обмежується параболами. Опуклість парабол буде назустріч розподіленому навантаженню q (у даній задачі – вгору). На III і IV ділянці гнучий момент MX описується лінійними залежностями, тому епюра MX на цих ділянках обмежується відрізками прямих. На епюрах необхідно показати знаки і штрихування перпендикулярно до осі.

(Епюру	QY	легко перевірити	за розрахунковою	схемою, починаючи
з лівого краю. На ділянці I завдовжки 1,333 м до балки прикладене розподілене
навантаження	q	спрямоване вниз,	тому значення на	епюрі зменшуються

на величину рівнодійної 1,333· q = 14,666 kН. У перерізі В діє реакція RB

спрямована вгору,	тому на епюрі стрибок вгору	завдовжки 48,25
(з – 14,666 у +33,583).	На ділянці II завдовжки 0,666м до	балки прикладене

розподілене навантаження q спрямоване вниз, тому значення QY зменшуються на величину рівнодійної 0,666· q = 7,333 kН (з +33,583 у +26,25). У перерізі С діє зосереджена сила Р спрямована вниз, тому на епюрі стрибок униз завдовжки 28 (з +26,25 у – 1,75). На ділянках III і IV відсутні розподілені навантаження, тому QY на цих ділянках постійна. Стрибок вгору на 1,75 у перерізі D викликаний реакцією RD.

Епюру MX легко перевірити починаючи з лівого краю. На ділянках I і III на епюрі QY знак «мінус», тому значення на епюрі MX на цих ділянках

зменшуються. На ділянці II	на епюрі QY знак «плюс», тому значення
на епюрі MX зростають. На	ділянці VI на епюрі QY = 0, тому значення

на епюрі MX постійні. Стрибок униз на 9 у перерізі Е викликаний зосередженим моментом М = 9 kHм. Зміна гнучого моменту MX на кожній ділянці дорівнює площі епюри QY на цій ділянці.)

5)Знайдемо небезпечний переріз балки.

Небезпечним буде той переріз балки, де виникає найбільший за

абсолютним значенням гнучий момент (саме там найбільш імовірне руйнування балки).

Як видно з епюри МХ , найбільше за абсолютною величиною значення гнучого моменту M X max = 10,16 kHм у перерізі С.

6)Підберемо розміри поперечного перерізу балки.

Зумови міцності при гнутті (6.28) визначимо осьовий момент опору поперечного перерізу балки:

	WX ³			M X		max
							,
				[σ ]
WX ³	10,16 ×103 Н × м	= 63,5 ×10−6 м3 = 63,5 см3 .
	160 ×106 Па

Осьовий момент опору поперечного перерізу WX можна виразити через розміри цього перерізу.

а) для круглого поперечного перерізу WX = πd 3 » 0,1d 3 , де d – діаметр: 32

d = 3

WX

;

d ³ 3

63,5

= 8,59 см.

0,1

0,1

b) для прямокутного поперечного перерізу

WX

=

bh2

, де b та h – розміри

6

прямокутника. При h = 2b,

WX

=

b(2b)2

=

2

b3 , тоді ширина b:

6

3