3. Расчет настроек дискретного пи-регулятора в пакете «matlab»
3.1. Решение задачи,
приведенной выше, в пакете «Matlab»
значительно облегчает нахождение
оптимальных настроек регулятора,
упрощает построение характеристик
системы, нахождение прямых и косвенных
показателей качества. Задав нужные
передаточные функции и параметры в
М-файле приложения, можно избежать
многократного повторения операций, что
сведет все расчеты к заданию искомых
,
и выполнению одной единственной команды
по реализации М-файла.
Как создать М-файл, показано на рисунке 10, приведенном ниже.
Рисунок 10. Создание
нового М-файла
21
3.2. Для решения
данного примера в пакете «Matlab»
сначала необходимо задать полученные
передаточные функции
и
.
3.2.1. Передаточная z-функция приведенной системы имеет вид:
.
Необходимо задать каждое из звеньев функции, а затем осуществить их последовательное и параллельное соединение при помощи команд ‘series’ и ‘parallel’ . Для задания передаточной функции в дискретной форме используется синтаксис:
SYS = TF(NUM,DEN,TS), где NUM=[k1 k2 k3 …] и den=[n1 n2 n3 …] – коэффициенты при степенях числителя и знаменателя, а Ts – период дискретизации. Полученную нами передаточную функцию приведенной системы можно разложить на пять звеньев, три из которых соединены параллельно-согласно
;
;
между собой
и последовательно
со звеньями
и
Тогда последовательность
задания функции будет выглядеть следующим
образом:
22
sys1=tf([0.7],[1 0 0],20)
sys2=tf([1 0],[1 -1],20)
sys3=tf([-3 0],[1 -0.717],20)
sys4=tf([2 0],[1 -0.607],20)
sys5=tf([1 -1],[1 0],20)
W1=parallel(sys2,sys3)
W2=parallel(W1,sys4)
W=series(W2,sys1)
Wpr=series(W,sys5)
3.2.2. Аналогично в
M-файле
MatLab’а
нужно задать и передаточную функцию
ПИ-регулятора в дискретной форме
.
В общем виде
задается следующим
образом:
Wrr=tf([Kr*(1+T/Ti)
-Kr],[1
-1],T),
где Ti
и Kr
– искомые параметры, задаются в буквенном
обозначении, а T
– период дискретизации. В нашей задаче
T=20с,
,
и в М-файле передаточная функция
регулятора записывается:
Wrr=tf([Kr*(1+20/Ti) -Kr],[1 -1],20)
3.2.3. Передаточная
функция разомкнутой системы в дискретной
форме имеет вид:
.
В М-файле осуществляется
23
последовательное
соединение заданных ранее
и
:
Wr=series(Wpr,Wrr)
3.3. Далее необходимо
задать промежуток изменения частоты
или
,
где T
– период дискретизации. В рассматриваемом
примере T=20
и, следовательно, частота изменяется в
пределах
.
В М-файле промежуток задается следующим
образом: W=Wmin:h:Wmax,
где Wmin
и Wmax
– границы промежутка, а h
– шаг варьирования (выбирается
произвольно, для достижения оптимальной
точности вычислений берется в сотых
или тысячных долях от граничных значений):
W=0:pi/1000:pi/10
3.4. После задания промежутка варьирования частоты необходимо построить КЧХ найденной передаточной функции разомкнутой системы при помощи команды «nyquist», и, удержав полученный график при помощи команды «hold», построить поверх окружность с найденным радиусом и координатами центра (для этой операции следует воспользоваться уже другой командой – «plot»). В комплексной плоскости окружность задается следующим образом:
,
где Y
– функция окружности, X
– варьируемая переменная,
и
- смещение центра по оси абсцисс и ординат
соответственно.
24
В рассматриваемом
примере мы определили радиус окружности
и смещение по оси абсцисс
.
В М-файле:
x=0:0.001:10
nyquist(Wrz,W)
hold
R=1.026
Plot(R*((cos(x)-1.64/R)+i*sin(x)))
3.5. Задав все команды в М-файл, необходимо сохранить его в рабочей папке «work» под именем команды, которой впоследствии можно будет реализовать все внесенные в него операции. Для этого необходимо в меню «Файл» выбрать «Сохранить как», задать удобное имя, и М-файл по умолчанию будет сохранен нужной папке.
Итоговый М-файл для решения рассматриваемой задачи будет выглядеть, как показано на рисунке (рисунок 11).
25
Рисунок 11. М-файл
для решения рассматриваемой задачи
3.6. Далее, задавая в командной строке Ti и варьируя Kr, нужно запускать М-файл, набирая его имя в командной строке и нажимая клавишу «Enter». В результате будут получены изображения КЧХ и окружности. Уменьшением или увеличением Kr добиваемся, чтобы КЧХ коснулась окружности. Изображение, как правило, получается сжатым, поэтому целесообразно изменить параметры осей, указав пределы их значений в меню вызываемого пунктом меню «Edit→Axes Properties». Необходимо помнить, что перед тем, как задать новые значения Ti или Kr, нужно закрывать окно графического редактора. Фиксируя значения, при которых произошло касание, заполняем таблицу (см. таблица 1). Например Ti=30, Kr=0,5. Запустив М-файл, получаем изображение:
26
Т.к. КЧХ пересекает окружность, уменьшаем Kr до тех пор, пока касание не произойдет. При Kr=0.41 происходит касание:
27
Заносим найденное Kr в таблицу.
Аналогично находим
все Kr
и Ti
и сводим их в таблицу 3.
Таблица 3. Значение
настроек ПИ-регулятора
-
30
0,410
0,0137
35
0,496
0,0142
40
0,584
0,0146
45
0,679
0,0150
50
0,770
0,0154
55
0,858
0,0156
60
0,945
0,01575
62
0,977
0,01578
65
1,023
0,01574
75
1,166
0,01554
80
1,226
0,01533
85
1,284
0,01511
90
1,34
0,01489
Таким образом,
максимальное
,
при
и
.
28
3.7. При помощи
команды «feedback»
замыкаем единичную обратную связь
параллельно
и строим график реакции на единичное
ступенчатое воздействие (step(Wz,t),
где t
– время, откладываемое по оси абсцисс,
выбирается произвольно для получения
оптимального изображения) :
Wz=feedback(Wr,1)
step(Wz,1000)
Затем строим АЧХ замкнутой системы:
ffplot(Wz)
29
Увеличив изображение при помощи инструмента «Лупа», или же при помощи пункта меню «Инструменты→Статистика» («Tools→Data Statistics» в английской версии программного пакета) находим максимальное значение:
30
По полученным данным определяем оптимальные показатели качества:
Т. к. полученные показатели качества меньше заданных, расчет удовлетворительный.
31