3. Пример

3.1. Найти оптимальные настройки дискретного ПИ – регулятора, если задана передаточная функция объекта, прямые показатели качества (перерегулирование  и время регулирования t_р).

Последовательность расчета рассмотрим на примере.

Структурная схема приведена на рисунке 1.

W_p(z)

W_об(s)

Рисунок 1. Структурная схема

Так как регулятор работает в дискретном режиме, то схема дискретной САР может быть представлена следующим образом (рисунок 2):

W_p(z)

W_об(s)

W_о(s;z)

Рисунок 2. Структурная схема дискретной САР

W_p(z) – передаточная функция регулятора;

W_o(s) – передаточная функция фиксатора некоторого порядка;

W_об(s) - – передаточная функция объекта регулирования;

Известна передаточная функция объекта .

Чтобы написать эту передаточную функцию в Mathcad, надо: перейти на английский язык; удерживая клавишу Shift нажать на W; затем перейти на русский язык и набрать «об»; открыть скобки; перейти на английский язык и нажать на «s»; закрыть скобку; далее удерживая Shift нажать на: («ж» в русском варианте), появится знак =, далее нажать на знак деления /, набрать k_об по вышеуказанным правилам, нажать на знак умножения * на клавиатуре; нажать «e» и затем удерживая клавишу Shift нажать на 6 на клавиатуре, появится степень числа, нажать знак минус (-), затем в верхнем меню включить функцию МАТЕМАТИКА, для этого зайти в ВИД – ПАНЕЛИ ИНСТРУМЕНТОВ – поставить галочку у МАТЕМАТИКА; появится

левой кнопкой мыши нажать на , появится

нажать на ; у «e» появится степень -; затем нажать на *s; затем левой кнопкой мыши кликнуть на нижний чёрный прямоугольник и набрать T₁*s+1;

Это звено апериодическое с запаздыванием, здесь

k_о – коэффициент передачи (усиления);

T₁ – постоянная времени;

 - время запаздывания.

- передаточная функция фиксатора нулевого порядка, сохраняющего измеренную в момент времени T*i амплитуду до следующего измерения в момент (i+1)T.

Эта же передаточная функция в форме (z; s) имеет вид .

3.2. Выберем закон регулирования, допустим, ПИ – закон. В дискретной форме .

Чтобы написать эту передаточную функцию в Mathcad, надо воспользоваться вышеперечисленным правилом построения, только необходимо учитывать, что все индексы у букв должны быть английскими (k_p, T_u, k_o и пр.).

Для расчета должны быть заданы параметры объекта, пусть

k_o=10, T₁=20 c, =5 c. Чтобы написать k_o в Mathcad, нужно набрать k_o; затем удерживая Shift нажать на: («ж» в русском варианте), появится знак =, далее 10. Аналогично T₁,  и пр.

3.3. Выберем период квантования так, чтобы при делении /Т получилось целое число (наименьшее), поэтому Т=5 с.

3.4. Построим передаточную функцию разомкнутой системы:

W_p(z)

W_пр.н.ч(z)

Приведённая непрерывная часть состоит из последовательно соединённых объекта и фиксатора, в нашем случае нулевого порядка с передаточной функцией .

.

Z- передаточная функция, если используется фиксатор нулевого порядка, имеет вид:

Так как объект имеет запаздывание, то нужно воспользоваться теоремой о запаздывании, то есть множителю е^-sτ соответствует в изображении множитель z^-τ/T, а дробь можно разложить на дроби и перейти кz- изображению:

По формуле (2) и (7) из приложения 1 получаем:

;

.

Второй вариант – использование построения в программе Mathcad.

Чтобы построить z- преобразование в Mathcad необходимо сделать следующее: взять z – преобразование от ,для этого в меню

нажимаете на ,появится

где нажать на , затем s, предварительно выделив соответствующее выражение, получится . Далее нажимаете напо t, получите следующее выражение

.

Аналогичным образом берёте z- преобразование от ,получите

Затем копируете правые части получившихся выражений и перемножаете, не забывая умножить на , получите

Выделив это выражение, нажмите на , получите

. (1)

Это выражение и будет z- передаточной функцией приведенной непрерывной части (объект + фиксатор)W_пр.н.ч.(z) вMathcad.

Выбираем закон регулирования, например ПИ – регулирования (Приложение 2). Передаточная функция разомкнутой системы при выбранном законе ПИ- регулирования имеет вид (так как регулятор и приведённая непрерывная часть соединены последовательно, то их передаточные функции перемножаются):

В Mаthcadнабираете передаточную функцию ПИ – регулятора и домножаете на (1), получится:

Это передаточная функция разомкнутой системы при выбранном законе ПИ- регулирования, представленная в Mathcad.

Присваиваете W_p(z) данное выражение, т.е. набираете полностью на английском языке W_p(z) и присваиваете (нажав одновременно на Shift и ;) полученный результат (копируете передаточную функцию и вставляете её на место выделенного квадрата).

3.5. Нахождение оптимальных настроек регулятора k_p и T_u графоаналитическим методом

3.5.1. По заданным параметрам перерегулирования =25 % и времени регулирования t_p=45 с., определим показатель колебательности М. Для этого последовательно используем номограммы (Приложение 3):

Номограмма 1: по заданному  находим Р_max=1,19.

По номограмме 2 по найденному Рmax находим L=16 и =23.

По номограмме 3 по L (модуль в децибелах) и  (запас по фазе) находим М_доп=1,18. Заносите M_доп в Mathcad (), 1,18.

3.5.2. На комплексной плоскости (u; v) строим окружность:

Для построения окружности в Mathcadпишете следующие выражения:

,

где и, причём А иR должны располагаться выше, чем x(f) и y(f).

3.5.3. Записываем z – передаточную функцию разомкнутой системы. Анализируем постоянные времени объекта, выбираем наибольшую. Строим интервал с центром Т_наиб. и (30-50)%*Т_наиб..

В нашем случае T_наиб.=Т₁=20 с.; выбираем интервал (12-28) с.

3.5.4. Задаём Т_u=12 с.; задаёмk_p, например 2, строим комплексную частотную характеристику (КЧХ) разомкнутой системы, для этого заменяемвW_p(z).

В Mathcadзаносите. Записываете выражениеW_p(z) по вышеприведенным методам:

и последовательно нажимаете на затем на, получите довольно длинное выражение. Либо вручную заменяя в последнем выражении, получите

Так как e^iωT=cos(ωT)+i*sin(ωT) – функция периодическая, то для построения графика КЧХ достаточно изменять значения w на одном периоде (либо [-/Т;/Т], либо [0; 2/Т], либо [0;/Т] ).

В Mathcadнабираетеw, присваиваете 0, затем на английском языке нажимаете на «;», появятся .. , затем пишите, получите.

Т. к. шаг по умолчанию может быть слишком большим, то можно задать его принудительно, например , для этого при задании шага после первой цифры ставим запятую и указываем требуемый шаг.

Построение ведём на той же плоскости, где построена окружность

О ;.